спасссссиииииите
дан квадратный трехчлен f(x), старший коэффицент которого равен 1. Известно, что существует такая пара различных чисел u и v, что f(u)=v2(в смысле в квадрате) и f(v)=u2(в квадрате). Докажите,что существует бесконечно много пар чисел с такими свойством.
Ответы
Ответ дал:
0
Квадратный трехчлен имеет вид 
, по условию 
, тогда наше выражение равно 
так как :
![f(u)=v^2\
f(v)=u^2\
\
f(u)=u^2+bu+c=v^2\
f(v)=v^2+bv+c=u^2](https://tex.z-dn.net/?f=f%28u%29%3Dv%5E2%5C%0Af%28v%29%3Du%5E2%5C%0A%5C%0Af%28u%29%3Du%5E2%2Bbu%2Bc%3Dv%5E2%5C%0Af%28v%29%3Dv%5E2%2Bbv%2Bc%3Du%5E2+ "f(u)=v^2\
f(v)=u^2\
\
f(u)=u^2+bu+c=v^2\
f(v)=v^2+bv+c=u^2")
выразим
, и приравняем
![b=frac{v^2-u^2-c}{u}\
b=frac{u^2-v^2-c}{v}\
\
frac{v^2-u^2-c}{u}=frac{u^2-v^2-c}{v}\
(v+frac{u^2}{v}-frac{c}{v}+2u)(frac{v}{u}-1)=0\](https://tex.z-dn.net/?f=b%3Dfrac%7Bv%5E2-u%5E2-c%7D%7Bu%7D%5C%0Ab%3Dfrac%7Bu%5E2-v%5E2-c%7D%7Bv%7D%5C%0A%5C%0A+frac%7Bv%5E2-u%5E2-c%7D%7Bu%7D%3Dfrac%7Bu%5E2-v%5E2-c%7D%7Bv%7D%5C%0A%28v%2Bfrac%7Bu%5E2%7D%7Bv%7D-frac%7Bc%7D%7Bv%7D%2B2u%29%28frac%7Bv%7D%7Bu%7D-1%29%3D0%5C%0A "b=frac{v^2-u^2-c}{u}\
b=frac{u^2-v^2-c}{v}\
\
frac{v^2-u^2-c}{u}=frac{u^2-v^2-c}{v}\
(v+frac{u^2}{v}-frac{c}{v}+2u)(frac{v}{u}-1)=0\")
следовательно
то есть можно бесконечно много подобрать таких параметров
![u=v\
4u^2=c\
4v^2=c](https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dv%5C%0A4u%5E2%3Dc%5C%0A4v%5E2%3Dc "u=v\
4u^2=c\
4v^2=c")
так как :
выразим
следовательно
то есть можно бесконечно много подобрать таких параметров
Похожие вопросы
2 года назад
7 лет назад
10 лет назад
10 лет назад