Преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Урок 3
Освободи от иррациональности знаменатель дроби:

Приложения:

Ответы

Ответ дал: axatar

Ответ:

$\displaystyle \tt (x-1) \cdot (\sqrt{x+5} +2), \;\; x >-5, x \neq -1$

Объяснение:

Требуется освободит от иррациональности знаменатель дроби:

$\displaystyle \tt \dfrac{x^2-1}{\sqrt{x+5} -2} ,\;\; x>-5.$

Так как при x = -1 > -5 знаменатель дроби обращается в 0, добавим условие: x ≠ -1.

Используя основное свойство дробей числитель и знаменатель дроби умножим на одно и тоже выражение $\displaystyle \tt (\sqrt{x+5} +2) }$ :

$\displaystyle \tt \dfrac{(x^2-1) \cdot (\sqrt{x+5} +2) }{(\sqrt{x+5} -2) \cdot (\sqrt{x+5} +2) }.$

Далее, применив формулу сокращённого умножения (a-b)·(a+b)=a²-b² упростим дробь:

$\displaystyle \tt \dfrac{(x^2-1) \cdot (\sqrt{x+5} +2) }{(\sqrt{x+5} -2) \cdot (\sqrt{x+5} +2) }= \dfrac{(x^2-1) \cdot (\sqrt{x+5} +2) }{(\sqrt{x+5})^2 -2^2 }=\\\\=\dfrac{(x^2-1) \cdot (\sqrt{x+5} +2) }{x+5 -4}=\dfrac{(x^2-1) \cdot (\sqrt{x+5} +2) }{x+1}=\\\\=\dfrac{(x+1) \cdot (x-1) \cdot (\sqrt{x+5} +2) }{x+1}=(x-1) \cdot (\sqrt{x+5} +2).$