Таня написала на доске число 31, а Тоня написала 44. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 14 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 27 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?

Ответ:

395

Пошаговое объяснение:

Ищем наименьшее общее число, которое напишут Таня и Тоня.

Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.

Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа, тогда у Тани будет число 31+14х.

Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа, тогда у Тони будет число 44 + 27у.

И эти числа должны быть равны.

31+14х = 44+27у

14х -27у =13

Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:

ax +by = c

Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле

х = х₁ + kb

y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.

В нашем случае a = 14; b = -27;  c = 13

и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1  у₁ = -1

14*(-1) -27*(-1)= 13

Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:

х= -1 - 27k;

y = -1 -43k  

Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),

тогда

х = -1 -27*(-1) = -1 +27 = 26;

у = -1 -14*(-1) = -1 + 14 = 13

Таким образом,

через 26 написаний чисел Таня получит 31 + 14*26= 395;

через 13 написания чисел Тоня получит 44 + 27*13 = 395.

Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно 395.

ответ

наименьшим общим  числом, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня будет число 395