Предмет: Геометрия
Автор: nastyathaya10
Вопрос задан 10 лет назад

Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках K ,L , сторону BC — в точках M , N, стоpону AC — в точках R,S . Известно, что KL=MN=RS=6 ,AB=12 ,BC=16 , угол В=90*. Найдите радиус окружности.

Ответы

Ответ дал: Матов

Найдем длины отрезков $BL;MB;AS;AK;CR;CN$ , по теореме о секущей
$BL(BL+6)=BM(BM+6)\ AK(AK+6)=AS(AS+6)\ CN(CN+6)=CR(CR+6)$
это же соотношение можно записать в виде
$(6-BL)(12-BL)=AS(AS+6)\ (10-BM)(16-BM)=(12-AS)(20-AS)\ BL(BL+6)=BM(BM+6)$
Решим систему , сделаем замену для удобство
$BL=x\ BM=y\ AS=z\ \ (6-x)(12-x)=z(z+6)\ (10-y)(16-y)=(12-z)(20-z)\ x(x+6)=y(y+6)$

$x(x+6)=y(y+6)\ (6-x)(12-x)=z*(20+z)\ (10-y)(16-y)=(14-z)(20-z)\ \ x^2-y^2=6y-6x\ -z^2-20z+x^2-18x+72=0\ (4+y-z)(z+y-30)=0$

подходит вариант
$z+y=30$
подставляя получаем уравнение
$x^2-y^2=6y-6x\ -(30-y)^2-20(30-y)+x^2-18x+72=0 \ \$

решая обычным способом получаем решения
$x=y = frac{737}{31}\ z=frac{216}{31}\ \$

Теперь впишем наш треугольник на плоскость $Oxy$ , так что бы угол $90а$ совпадал с началом координат , тогда как показана на рисунку получим
$BL=BM=frac{737}{31}\$
$AS=frac{216}{31}$

$M(frac{737}{31}; 0)\ L(0; frac{737}{31})\ N(frac{923}{31};0)\ K(0;frac{923}{31}) \$
пусть центр радиус координаты с точками $x;y$ то
$x^2+(y-(737/31))^2=x^2+(y-(923/31))^2 \ y=26frac{24}{31}\ x=26frac{24}{31}\ R=sqrt{(26frac{24}{31})^2+(26frac{24}{31}-frac{737}{31})^2}$

Приложения: