Некоторый многоугольник удалось поместить внутрь квадрата, периметр которого в 7 раз меньше. Каково наименьшее число сторон такого многоугольника?

В задаче не сказано какой многоугольник. Т.е он может быть невыпуклым, и может самопересекаться. 
Рассмотрим квадрат размером 1*1 (единичный). Максимальное расстояние  между двумя точками равно корень из 2 (диагональ), значит каждая сторона многоугольника меньше корня из 2. Периметр нашего единичного квадрата равен 4, а многоугольника 28. Следовательно у многоугольника не менее 28/(корень из 2)+1= 28/1,414+1=19,8+1=20,8 Т.е. наименьшее число сторон равно 20.

Ответ: 20 сторон, каждое сторона многоугольника чуть меньше корня из двух