Предмет: Геометрия
Автор: Vasilekgrib
Вопрос задан 10 лет назад

Подскажите , пожалуйста, решение ... ( ответ: 156)
Биссектриса острого угла равнобокой трапеции делит боковую сторону на отрезки 10 и 5, считая от большего основания. Если это основание равно 22, то площадь трапеции равна ?

Ответы

Ответ дал: Матов

Пусть дана трапеция $ABCD$ , стороны $AB=CD\$ , опустим высоту
$BH$ .
так как биссектриса делит сторону боковую на отрезки 10 и 5 , то сама сторона равна 15 см .
Обозначим $BC=x$ , тогда $AH=frac{22-x}{2}$
Так как биссектриса делит высоту трапеций , то она будет являться биссектрисой треугольник $BAH$ .
Тогда очевидно высота будет равна по теореме Пифагора
$BH=sqrt{15^2 - (frac{22-x}{2})^2}$
так как $AO$ является биссектрисой треугольник $ABC$ , то по формуле она равна $frac{22-x}{2}*sqrt{frac{60}{52-x}}$
с другой стороны она равна $y=frac{b}{sina}$
приравняем их
$frac{22-x}{2}*sqrt{frac{60}{52-x}} = frac{b}{sina}\ b=frac{(22-x)*sina}{2}*sqrt{frac{60}{52-x}}$
По теореме о биссектрисе $frac{z}{b}=frac{15}{frac{22-x}{2}}\ frac{z}{b}=frac{30}{22-x}$
с учетом того что
$z+b=sqrt{225-(frac{22-x}{2})^2}\$
подставляя ее получим
$2*(frac{30b}{22-x}+b)=sqrt{(52-x)(x+8)}$
теперь подставим $b$
получим в итоге
$2(frac{frac{30*(22-x)}{2}*frac{60}{52-x}*sina}{22-x}+frac{22-x}{2}*sqrt{frac{60}{52-x}}*sina)-sqrt{(52-x)(x+8)} = 0\$
это эквивалентно такому
$2sqrt{15(52-x)}*sina= sqrt{-x^2+44x+416}\ sina=sqrt{frac{x+8}{60}}\ 0 leq x leq 52$
Теперь зная угол можно найти меньшую сторону
Пусть $AO$ это сама биссектриса тогда , угол $BCD$ равен $180-2a$
$AO^2=100+22^2-2*10*22*cos(2*arccossqrt{frac{52-x}{60}})\$
тогда
$BO^2 = (100+22^2-2*10*22*cos(2*arccossqrt{frac{52-x}{60}}))+ 15^2-30$ * $(100+22^2-2*10*22*cos(2*arccossqrt{frac{52-x}{60}}))*sqrt{frac{52-x}{60}}$
с другой стороны
$BO^2=25+x^2+10x*cos(2arccossqrt{frac{52-x}{60}}) = frac{2x^2+22x+75}{3}\$
$frac{2x^2+22x+75}{3}=$ $-frac{5*sqrt{(27(52-x)(44x+784)}-44*sqrt{15}*x-1459*sqrt{15}}{3sqrt{15}}$
решая это уравнение получаем $x=4$
Тогда высота равна
$BH=sqrt{15^2-9^2}=12\ S=frac{22+4}{2}*12 = 156$

Приложения: