Предмет: Алгебра
Автор: TimeToKnow
Вопрос задан 10 лет назад

Докажите равенство
cos $frac{ pi }{7}$ cos $frac{4 pi }{7}$ cos $frac{5 pi }{7}$ = $frac{1}{8}$

Ответы

Ответ дал: Матов

Нестандартное доказательство
Как известно по теореме Виета для кубического уравнения для корней справедливо такое соотношение , если $x_{1};x_{2};x_{3}\ x_{1}*x_{2}*x_{3}=frac{a}{d}$
где уравнение
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
то есть нам надо что бы числа $x_{1}=cosfrac{pi}{7}\ x_{2}=cosfrac{4pi}{7}\ x_{3}=cosfrac{5pi}{7}$ были корнями уравнения !
воспользуемся тем что
$cosfrac{pi}{7}=-cosfrac{6pi}{7}$
разложим левую часть в такой вид
$cosfrac{pi}{7}=sin^6frac{pi}{7}-cos^6frac{pi}{7}$ $+15sin^2frac{pi}{7}*cos^4frac{pi}{7}-15sin^4frac{pi}{7}*cos^2frac{pi}{7}$
преобразуем его в такой вид
$cosfrac{pi}{7}=(1-cos^2frac{pi}{7})^3-cos^6frac{pi}{7}+$ $15(1-cos^2frac{pi}{7})*cos^4frac{pi}{7}-15(1-cos^2frac{pi}{7})^2*cos^2frac{pi}{7}$
теперь положим $cosfrac{pi}{7}=x$ получим уравнение
$(1-x^2)^3-x^6+15(1-x^2)*x^4-15(1-x^2)^2*x^2-x=\$
она равна
$(1-x)(4x^2-2x-1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0\ 8x^3-4x^2-4x+1=0$
теперь корни это кубического уравнения будут числа
$-cosfrac{4pi}{7}$
$cosfrac{pi}{7}\$
$cosfrac{5pi}{7}$
и как ранее было сказано достаточно поделить
$cosfrac{pi}{7}*cosfrac{4pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}=frac{1}{8}$

Похожие вопросы

Русский язык

2 года назад

Как перешёптываются деревья? Укажи ответ знаком "+". ? листьями ? ветвями ? ароматом

Русский язык

2 года назад

К слову Видеть и Дышать подобрать приставки к этим словам чтобы получились слова. Пример:Держать-Удержать получилась приставка У. Заранее спасибо)

Алгебра

7 лет назад

сколько будет 188.25см2 в м2

Информатика

7 лет назад