Сделайте с решением, все проверю, если правильно. Отмечу как лучший

Приложения:

Ответы

Ответ дал: Miroslava227

Ответ:

$5\pi < \alpha < \frac{11\pi}{2} \: \: \: | - 4\pi \\ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

угол принадлежит 3 четверти, синус и косинус отрицательные.

Воспользуемся формулой:

$1 + {ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{ { \sin}^{2} \alpha } \\ \sin( \alpha ) = + - \sqrt{ \frac{1}{1 + {ctg}^{2} \alpha } } \\ \sin( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{16}{9} } } = - \sqrt{ \frac{9}{25} } = - \frac{3}{5} \\ \\ \cos( \alpha ) = \sqrt{1 - { \sin }^{2} \alpha } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5}$

Чтобы выяснить, существуют ли такие значения угла, нужно подставить их в основное тригонометрическое тождество.

${ \sin}^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha = 1 \\ \\ {( \frac{3}{8} )}^{2} + {( \frac{5}{8} )}^{2} = \frac{9 + 25}{64} = \frac{34}{64}$

это не равно 1 => не существует

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - \frac{1}{9} } = \sqrt{ \frac{8}{9} } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \\ tg \alpha = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \times \frac{3}{1} = 2 \sqrt{2}$

это не равно данному в условии тангенсу => не существует.

$\cos( \alpha ) = \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg}^{2} \alpha } } = \\ = \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{2}{16} } } = \frac{4}{ \sqrt{18} } = \frac{4}{3 \sqrt{2} } \\ \\ { \sin}^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha = 1 \\ \frac{1}{9} + \frac{16}{9 \times 2} = \frac{2 + 16}{18} = \frac{18}{18} = 1$