докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Поэтому Отрезки от вершин до точек касания равны, как обозначено на рисунке.
AB + CD = x + y + a + b
BC + AD = y + a + x + b,
значит AB + CD = BC + AD