как доказать,что середины сторон произвольного четерехугольника являются вершинами параллелограмма??

Провести сначала одну диагональ четырехугольника.
В полученных треугольниках, отрезки, соединяющие середины сторон, являются средними линиями и параллельны основанию, то есть диагонали.
Т.о. эти отрезки параллельны друг другу.
Аналогично с другой диагональю и еще двумя отрезками.
В полученном четырехугольнике противоположные стороны параллельны - т.е. он параллелограмм.

Это теорема Вариньона.