Учитель написал на листочке число бумаги число 20.Тридцать три школьника передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от числа 1, как он хочет. Может ли в итоге получиться число 10?

Нет, не может. После того как листок побывает в руках у богатыря, число, на нём написанное, будет менять свою чётность, т. е. станет чётным, если было нечётное, и наоборот. Это значит, что после 33-х изменений число станет нечётным, т.е. никак не сможет равняться 10.