Слово "везде" это предлог или союз?

Ничего из перечисленного, это наречие.

Это наречие.

Если интересно, поподробнее:

I Часть речи: наречие;

II Начальная форма: везде;

III Морфологические признаки:

А. Постоянные признаки:

Неизменяемое слово;

Разряд по значению: обстоятельственное (места);

Б. Непостоянные признаки:

положительная степень

IV Синтаксическая роль: в зависимости от контекста, может быть следующими членами предложения:

обстоятельство

определение