Повторение. Площади четырёхугольников и треугольников
В треугольнике ABC, AB = 9 см, BC = 10 см и AC = 17 см. Найди значение синуса наименьшего угла треугольника.
Ответ:

Ответы

Ответ дал: lilyatomach

Ответ:

$sinC=\dfrac{36}{85} .$

Объяснение:

Напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Так как сторона АВ наименьшая, то ∠С- наименьший.

1 способ.

Применим теорему косинусов и найдем косинус угла С.

Квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$AB^{2} =AC^{2} +BC^{2} -2\cdot AC \cdot BC \cdot cos C;\\9^{2} =17^{2} +10^{2} -2\cdot17\cdot10 \cdot cos C;\\81=289+100-340\cdot cos C;\\340\cdot cos C=389-81;\\340\cdot cos C=308;\\\\ cos C=\dfrac{308}{340} ;\\\\ cos C=\dfrac{77}{85} .$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем синус угла.

$sin^{2} C+cos^{2} C=1;\\sin^{2} C=1-cos^{2} C.$

Синус угла в треугольнике принимает положительное значение

$sinC=\sqrt{1-cos^{2}C } ;\\sinC= \sqrt{1-\left(\dfrac{77}{85}\right )^{2} } =\sqrt{\left(1-\dfrac{77}{85}\right)\left(1+\dfrac{77}{85} \right)} =\sqrt{\dfrac{85-77}{85} \cdot \dfrac{85+77}{85} } =\\\\\sqrt{\dfrac{8}{85} \cdot \dfrac{162}{85} } =\sqrt{\dfrac{8\cdot2\cdot81}{85\cdot85} } =\dfrac{4\cdot9}{85} =\dfrac{36}{85}.$

2 способ.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

$S=\sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)} ,$

где p- полупериметр , a,b,c- стороны треугольника.

$p=\dfrac{9+10+17}{2} =\dfrac{36}{2} =18;\\S= \sqrt{18\cdot(18-9)(18-10)(18-17)} =\sqrt{18\cdot9\cdot 8\cdot 1} =\sqrt{9\cdot 2\cdot9\cdot8} =\\=9\cdot 4=36.$

Найдем площадь этого же треугольника по формуле.

$S=\dfrac{1}{2} \cdot AC\cdot BC\cdot sin C;\\\\sinC=\dfrac{2S}{AC\cdotBC} ;\\\\sinC=\dfrac{2\cdot36}{10\cdot 17} =\dfrac{36}{5\cdot17} =\dfrac{36}{85} .$