Предмет: Математика
Автор: GrigoriyKlemchuk12
Вопрос задан 7 лет назад

< >

Доказать, что для любого натурального верно равенство:

1 · (n − 1) + 2 · ( n− 2) + 3 · ( n− 3) + · · · + ( n− 1) · 1 =(n − 1) · n · ( n+ 1)/6

Ответы

Ответ дал: yugolovin

1

Нам потребуются формулы, которые будем считать известными:

$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow\sum\limits_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}{2};$

$\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.$

Имеем:

$\sum\limits_{k=1}^{n-1}k(n-k)=n\sum\limits_{k=1}^{n-1}k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2= \frac{(n-1)n^2}{2}-\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=$

$=\frac{(n-1)n(3n-(2n-1))}{6}=\frac{(n-1)n(n+1)}{6},$ что и требовалось доказать.

Похожие вопросы

Английский язык

1 год назад

Поместите слова из коробки в столбцы 1-6 My friend and I,Queen Elizabeth 2,Your best friend and you,Lila and Rita,A maths teacher and an art teacher,A school subject,Max and I,Alexander Pushkin

Русский язык

1 год назад

проверочное слово ко слову колокольчик.

Окружающий мир

2 года назад

Бос орынды толтыр. 1917 жылы Англия мен АҚШ Mk VIII Liberty ауыр ...................... бірлескен өндірісін бастады.

Қазақ тiлi

2 года назад

люди которые знают казахский люди дорогие помогите пожалуйста план составить и всее

Математика

8 лет назад

Решите пожалуйста 1,2+3,6/2,4 (1,2+3,6 — знаменатель дроби)

История

8 лет назад

каким образом был избран первый президент СССР? Как распредилились голоса при голосовании

Математика

9 лет назад

Строители 1 бригады могут построить здание за 15 месяцев. Строители 2 бригады - за 2/3 этого времени. За сколько месяцев могут построить здание две бригады, работая совместно?

Математика

9 лет назад

Помогите решить уравнение!!!! (3 целых 9/13+y)-4 целых 9/13=1 целая 7/13