Предмет: Алгебра
Автор: yugolovin
Вопрос задан 7 лет назад

< >

Пусть a и b - положительные числа. Найти
$\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}\ \ \$ и $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}.$

Alexandr130398: а что больше? a или b?

pushpull: a и b каждый больше или меньше 1?

igorShap: больше или меньше 1 - это не повлияет на ответ

yugolovin: Если для Вас это важно, считайте, что a меньше b

Ответы

Ответ дал: Alexandr130398

Ответ:

$1) \ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =a \\ \\ 2) \ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =b$

Объяснение:

b>a>0

$1) \ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =\left( \frac{a^{ -\infty}+b^{ -\infty}}{2} \right)^\frac{1}{ -\infty} =[0^0]$

Пусть $y=\left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$ , тогда

$\ln y=\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x} =\frac{1}{x} \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right) =\frac{\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}{x} \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} \ln y=\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{( \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2} \right))'}{x'} = \left[\frac{\infty}{\infty} \right] =\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\frac{2}{a^x+b^x}*\frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{2} }{1} =$

$=\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{a^x+b^x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{(a^x \ln a +b^x \ln b):a^x}{(a^x+b^x):a^x} =\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{ \ln a +\left(\frac{b}{a} \right)^x \ln b}{1+\left(\frac{b}{a} \right)^x} = \\ \\$

$=\frac{ \ln a +\left(\frac{b}{a} \right)^{-\infty} \ln b}{1+\left(\frac{b}{a} \right)^{-\infty}} =\frac{ \ln a +\left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty} \ln b}{1+\left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty}} = \begin{vmatrix} a<b\\ \frac{a}{b} <1 \\ \left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty} =0 \end{vmatrix} =\ln a$

Значит

$\lim\limits_{x \to -\infty} \ln y=\ln a \\ \\ \ln \left(\lim\limits_{x \to -\infty} y\right)=\ln a \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} y=a \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =a$

Аналогично со вторым номером

$1) \ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =\left( \frac{a^{ +\infty}+b^{ +\infty}}{2} \right)^\frac{1}{ +\infty} =[\infty^0]$

Пусть $y=\left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$ , тогда

$\ln y=\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x} =\frac{1}{x} \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right) =\frac{\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}{x} \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln y=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{( \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2} \right))'}{x'} = \left[\frac{\infty}{\infty} \right] =\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{a^x+b^x}*\frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{2} }{1} =$

$=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{a^x+b^x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(a^x \ln a +b^x \ln b):b^x}{(a^x+b^x):b^x} =\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{ \left(\frac{a}{b} \right)^x\ln a + \ln b}{\left(\frac{a}{b} \right)^x+1} = \\ \\$

$=\frac{\left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty} \ln a +\ln b}{\left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty}+1} =\begin{vmatrix} a<b\\ \frac{a}{b} <1 \\ \left(\frac{a}{b} \right)^{+\infty} =0 \end{vmatrix} =\ln b$

Значит

$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln y=\ln b \\ \\ \ln \left(\lim\limits_{x \to +\infty} y\right)=\ln b \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} y=b \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =b$

Alexandr130398: если а и b меньше 1, то будет неопределенность оо^0

Alexandr130398: далее для раскрытия неопределенности мы логарифмируем

Alexandr130398: если а и b меньше 1, то log(a^(-oo)+b^(-oo) / 2)=log(oo)=oo

Alexandr130398: если а и b больше 1, то log(a^(-oo)+b^(-oo) / 2)=log0=-oo

Alexandr130398: в любом случае получается неопределенность оо/оо

Alexandr130398: значит можно воспользоваться правилом лопиталя

yugolovin: Слушайте, решение должно быть корректным и пониматься без комментариев. Я вижу, что Вы пишете в тексте неоределенность определенного типа, а она бывает разная при разных a и b. Я так не понимаю. Давайте добьемся вместе идеального решения, скорректировав основной текст

Alexandr130398: Если вам мое решенте кажется "некорректным", можете его удалить (пожаловаться).

Alexandr130398: Вообще не понимаю, зачем сюда выкладывать задания, если сам знаешь как его решать

yugolovin: Я говорю про математическую истину, а Вы начинаете обижаться((

Похожие вопросы

Английский язык

1 год назад

Помогите пожалуйста!Срочно надо!!!! The______(object )is next to my bed. My________(object)______on the desk.My poster of________(person) is on the wall.My CDs are_______(place).My curtains are

Русский язык

1 год назад

7-седьмое упражнения пожалуйста

Другие предметы

2 года назад