• Предмет: Алгебра
  • Автор: fomincevvadim0
  • Вопрос задан 4 года назад

Сколько действительных корней имеет уравнение 2 x^(4) - 3 x^(3)-12 x^(2)+12x=0
Укажите интервал, которому принадлежит наименьший корень:
1) (−4;−3) 2) (−3;−2) 3) (−2;−1) 4) (1;2) 5) (2;3)


Ответ запишите в виде: k, m где k - число корней, m - номер промежутка, которому принадлежит наименьший корень

Ответы

Ответ дал: nikebod313
1

Задача. Сколько действительных корней имеет уравнение 2x^{4} - 3x^{3} - 12x^{2} + 12x = 0?

Укажите интервал, которому принадлежит наименьший корень:

1) ~ (-4; ~ {-}3);\\2) ~ (-3; ~ {-}2);\\3) ~ (-2; ~ {-}1);\\4) ~ (1; ~ 2);\\5) ~ (2; ~ 3).

Ответ запишите в виде: k, ~ m, где k — число корней, m — номер промежутка, которому принадлежит наименьший корень.

Решение. Вынесем общий множитель x за скобки:

x(2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 12)=0.

Произведение множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:

1) ~ x = 0;

2) ~ 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 12 = 0.

Видя последнее уравнение, понимаем, что искать все его корни не нужно. Этого и не требуют в задании.

Рассмотрим функцию f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 12.

1) Область определения: D(f) = (-\infty; ~ {+}\infty).

2) Исследуем данную функцию на четность:

f(-x) = 2(-x)^{3} - 3(-x)^{2} - 12(-x) + 12 = -2x^{3} - 3x^{2} + 12x + 12 =\\= - (2x^{3} + 3x^{2} - 12x - 12) \neq -f(x).

Функция не обладает свойством четности. Она ни четная, ни нечетная.

3) Определим нули функции.

3.1. Пересечение с осью x \colon

2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 12 = 0.

Невозможно дать точный ответ.

3.2. Пересечение с осью y \colon

2 \cdot 0^{3} - 3\cdot 0^{2} - 12\cdot 0 + 12 = 12.

Значит, (0; ~ 12) — точка пересечения с осью y.

4) Найдем производную функции:

f'(x) = 6x^{2} - 6x - 12.

5) Определим критические точки функции, приравняв производную к нулю:

6x^{2} - 6x - 12 = 0 ~~~ |: 6

x^{2} -x - 2 = 0

x_{1} = -1; ~ x_{2} = 2

Определим точки экстремума и экстремумы функции:

f' ~~~~~ + ~~~\max~~~~~ - ~~~~\min~~~+\\------|------|----->x\\f ~~~~~\nearrow~~~~ {-}1 ~~~~~~\searrow~~~~~~ 2~~~~~ \nearrow

Итак:

x_{\max} = -1; ~~~ x_{\min} = 2.

y_{\max} = 2 \cdot (-1)^{3} - 3 \cdot (-1)^{2} - 12 \cdot (-1) + 12 = 19

y_{\min} = 2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 12 = -8

6) Изобразим схематически график функции, строго соблюдая все найденные точки, монотонность функции и симметрию линий около критических точек (см. вложение).

Выводы. Как видно из графика, из уравнения 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 12 = 0 имеем три действительных корня, наименьший из которых находится в интервале 2) ~ (-3; ~ {-}2). Таким образом, уравнение 2x^{4} - 3x^{3} - 12x^{2} + 12x = 0 имеет четыре действительных корня.

Ответ: 4, ~ 2.

Приложения:

nikebod313: Почему линия графика функции пересекает именно в точке, которая меньше (-2)? Как это понять?
Для этого возьмите ближайшие целые точки на графике и посчитайте значения функции.
nikebod313: Пусть x=-2. Тогда f(-2)=8
Пусть x=-3. Тогда f(-3)=-33
Видим переход функции на интервале от (-3) до (-2), что там функция меняет знак, то есть где-то там пересекает ось абсцисс.
Похожие вопросы