Предмет: Алгебра
Автор: vityamath
Вопрос задан 7 лет назад

Решите уравнение в действительных корнях.
$\sqrt{x-\sqrt{x-...} } =\sqrt{1+\sqrt{1+...} }$

yugolovin: 2+\sqrt{5}

mathgenius: Да, но только при условии, что цепной радикал в левой части сходится.

Ответы

Ответ дал: NNNLLL54

Ответ: $x=2+\sqrt5\ .$

$\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}\\\\\\\star \ \ \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}=A\ \ ,\ A>0\ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ A^2=1+\underbrace{\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}_{A}\ \ ,\\\\A^2=1+A\ ,\ \ \ \ A^2-A-1=0\ \ ,\ \ \ A_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\\\\\A_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0\ \ ne\ podxodit\ \ \ ,\ \ \ \ \ A_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>0\ \ \star$

$\sqrt{x-\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}=A\ \ ,\ \ A=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\\\\\\A^2=x-\underbrace{\sqrt{x-\sqrt{x-...}}}_{A}\ \ \ ,\ \ \ A^2=x-A\ \ ,\ \ \ x=A^2+A\ \ ,\\\\\\x=\Big(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\Big)^2+\dfrac{1+\sqrt5}{2}\\\\\\x=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}+\dfrac{1+\sqrt5}{2}=\dfrac{6+2\sqrt5+2+2\sqrt5}{4}=\dfrac{8+4\sqrt5}{4}=2+\sqrt5$

mathgenius: Можно схитрить и не возводить в квадрат: A^2+A = 2A + 1 = 2+sqrt(5) . Но это я так... А вообще надо бы еще доказать, что левая часть сходится при x = 2+sqrt(5), поскольку преобразование: A^2 = x-A работает только при условии сходимости левой части.

yugolovin: Конечно, без обоснования тут нельзя

Похожие вопросы

Окружающий мир

2 года назад

кто живет на лугу дам 23 бала

Русский язык

2 года назад

морфологический разбор слова облоках

Математика

2 года назад

вычислите пжпж: 16/7:1 11/21-9/16*(3-1 22/27)

Алгебра