Доказать, что существует бесконечно много положительных рациональных пар (х,у) таких, что x^y=(2y)^x и найти все такие пары
Amigo3:
Их же бесконечно много, сколько найти то? Десяток, сотню, тысячу?
Чисел вида 1/n, n€N тоже бесконечно много - и, тем не менее, всех их можно описать этой формулой. Если множество счетно, проблем с записью решений не возникнет
Осталось только решить уравнение...
Я доработал решения для рациональных, но можно вам его отправить в какой-нибудь мессенджер(или новый вопрос)?
А то второй ответ нельзя
Ответы
Ответ дал:
0
Пришлось криво обрезать, но тут вроде как все правильно
Приложения:
А с чего это вы взяли, что ((n+m)/2n)^(n/m) - рационально только если m=1 или m = 2?
Как вы к этому пришли?
Вы это с потолка взяли что ли?
Нам же нужно, чтобы и n + m, и 2n было степенями m, а при m > 2, минимальная разность между a^m и (b^m / 2) уже больше m
к примеру 8 - 4 = 4 > 3
Вот этот факт не так уж и очевиден, его надо доказывать. Я тоже пришел к уравнению 2N = n^N -2m^N, но как строго доказать не знаю
Ну хотя ладно, в принципе согласен. Интуитивно это видно, но можно это доказать.
хм, я тут немного плпрограммировал, и есть подозрение, что для m=2, на самом деле есть бесконечно много (ну или по крайней мере 5) решений, 14 и 10 например
хотя до 100 миллионов их все ещё не больше 10
А разве мы не придем к противоречит в случае m = 2, ведь тогда если gcd(n + m, 2n) = 2, то и n, и m четные, чего быть не может, а если их нод равер 1, то тогда n должно быть нечетным, но с другой стороны n = a^2 / 2 точно четное. И все решения будут описаны той формулой в конце, но поводу m >= согласен, ничего не смог придумать
Похожие вопросы
2 года назад
2 года назад
8 лет назад