Композиция трех гомотетий, с центром в O1 и коэффициентом 2, с центром в O2 и коэффициентом −1/3, и с центром в O3 и коэффициентом k3, является центральной симметрией. Чему равен k3

?

cos20093: Центральная симметрия это коэффициент гомотетии -1, то есть 2*(-1/3)*k3 = -1;

cos20093: Гораздо интереснее вопрос, где центр этой центральной симметрии.

kuznetsova79: Пишет, что неверно

Ответы

Ответ дал: nelle987

Ответ:

1,5

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим произвольную точку A. Обозначим точку, относительно которой композиция гомотетий будет центральной симметрией, за О.

Первая гомотетия переводит точку A в A':

$\overrightarrow{O_1A}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1}\\\overrightarrow{O_1A'}=2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO_1})$

Вторая гомотетия переводит точку A' в A'':

$\overrightarrow{O_2A'}=\overrightarrow{O_1A'}-\overrightarrow{O_1O_2}\\\overrightarrow{O_2A''}=-\dfrac13\left(\overrightarrow{O_1A'}-\overrightarrow{O_1O_2}\right)$

Третья гомотетия переводит точку A'' в точку A''':

$\overrightarrow{O_3A''}=\overrightarrow{O_2A''}-\overrightarrow{O_2O_3}\\\overrightarrow{O_3A'''}=k_3\left(\overrightarrow{O_2A''}-\overrightarrow{O_2O_3}\right)$

Тогда

$\overrightarrow{OA'''}=\overrightarrow{O_3A'''}-\overrightarrow{O_3O}=k_3\overrightarrow{O_2A''}-\left(k_3\overrightarrow{O_2O_3}+\overrightarrow{O_3O}\right)=\\=-\dfrac{k_3}3\overrightarrow{O_1A'}-\left(-\dfrac{k_3}3 \overrightarrow{O_1O_2}+ k_3\overrightarrow{O_2O_3}+\overrightarrow{O_3O}\right)=\\=-\dfrac{2k_3}3\overrightarrow{OA}-\left(-\dfrac{2k_3}3 \overrightarrow{OO_1}-\dfrac{k_3}3 \overrightarrow{O_1O_2}+ k_3\overrightarrow{O_2O_3}+\overrightarrow{O_3O}\right)$

Так как композиция этих гомотетий является центральной симметрией, то $\overrightarrow{OA'''}=-\overrightarrow{OA}$ . Поскольку A выбрана произвольно, то выражения должны совпадать тождественно, коэффициент перед $\overrightarrow{OA}$ должен равняться -1, а выражение в скобках должно быть равно нулю. Отсюда

$-\dfrac{2k_3}{3}=-1\\k_3=\dfrac32$

(В общем случае если композиция гомотетий с коэффициентами $k_1$ , $k_2$ , ..., $k_n$ является гомотетией с коэффициентом $k$ , то $k_1k_2\dots k_n=k$ )