Предмет: Математика
Автор: Viva8888
Вопрос задан 7 лет назад

Вычислить предел lim (d(n)/n) - где d(n), кол-во цифр числа n
n->+беск

Ответы

Ответ дал: yugolovin

$a_1=\frac{d(1)}{1}=1> a_2=\frac{d(2)}{2}=\frac{1}{2}>a_3=\frac{1}{3}>\ldots >a_9=\frac{1}{9}\Rightarrow 0<a_1,\ \ldots, \ a_9\le 1;$

$a_{10}=\frac{d(10)}{10}=\frac{2}{10}>a_{11}=\frac{2}{11}>\ldots > a_{99}=\frac{2}{99}\Rightarrow 0<a_{10},\ \ldots,\ a_{99}\le \frac{2}{10};\ldots;$

$a_{10^{n-1}}=\frac{d(10^{n-1})}{10^{n-1}}=\frac{n}{10^{n-1}}>\ldots >a_{10^n-1}=\frac{n}{10^n-1}\Rightarrow$

$0<a_{10^{n-1}},\ \ldots,\ a_{10^n-1}\le \frac{n}{10^{n-1}}.$

Последовательность $\{\frac{n}{10^{n-1}}\}$ стремится к нулю, поэтому исходная последовательность стремится к нулю по лемме о "двух правоохранителях" (милиционерах, полицейских, жандармах, копах и т.д - в зависимости от страны и эпохи).

Доказать, что $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n}{10^{n-1}}=0$ можно многими способами (с помощью правила Лопиталя, теоремы Штольца, бинома Ньютона, неравенства Бернулли - кто подскажет еще способ?).

Например, бином Ньютона дает нам следующую оценку:

$10^{n-1}=(1+9)^{n-1}=1+9(n-1)+9^2\frac{(n-1)(n-2)}{2}+\ldots +9^{n-1}>(n-1)(n-2)\Rightarrow$

$0<\frac{n}{10^{n-1}}<\frac{n}{(n-1)(n-2)}=\frac{1}{n(1-1/n)(1-2/n)}\to 0\Rightarrow \frac{n}{10^{n-1}}\to 0$ .

Неравенство Бернулли применяем так:

$10^{n-1}=2^{n-1}\cdot 5^{n-1}=(1+1)^{n-1}\cdot 5^n\ge (1+(n-1)\cdot 1)\cdot 5^{n-1}=n\cdot 5^{n-1}\Rightarrow$

$\frac{n}{10^{n-1}}<\frac{1}{5^{n-1}}\to 0.$

Лопиталь заменяет n на x, проверяет наличие неопределенности

$\left(\frac{\infty}{\infty}\right),$ вычисляет предел отношения производных:

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x'}{(10^{x-1})'}=\lim\frac{1}{10^{x-1}\cdot \ln 10}=0,$ и поскольку предел отношения производных существует и равен нулю, исходный предел также равен нулю.

Штольц не так хорошо известен, но наш предел вычисляет мгновенно. Однако я устал и (возможно) утомил читателя. Поэтому, памятуя Козьму Пруткова, заканчиваю.

Похожие вопросы

Українська мова

1 год назад

Повний фонетичний розбір слова ПІД'ЇЗД

Русский язык

1 год назад

Река, воде, ночи, траве, кувшинки, лилии, тишине, зАросли, дорожке, камыша. Составьте с этими словами текст, употребляя различные предлоги. Определите падеж существительных. P.S. В слове заросли

Русский язык

2 года назад

9.При переносе слова нельзя начинать строку с этих букв: А) aoy ыи э Б) её юя В) йЪь Ъь

Алгебра

2 года назад