Математика, помогите,пожалуйста! Выяснить, какие множества элементов образуют линейное пространство:

Выберите один или несколько ответов:
1)множество всех ненулевых матриц
2)множество четных чисел
3)множество натуральных чисел
4)множество всех решений системы n линейных однородных уравнений с n переменными

Будем предполагать по умолчанию, что операции сложения и умножения на число (на элемент  поля) естественные, а поле - поле действительных чисел. Ненулевые матрицы не образуют линейное пространство хотя бы по причине того, что матрицы разных размеров мы не умеем складывать.  А если ограничить себя матрицами одного порядка, в дело вступает отсутствие нулевой матрицы, откуда операция умножения на ноль выводит за пределы рассматриваемого множества.

Во втором примере умножение на действительные числа может выводить за пределы множества. Например, 2 как элемент множества, умноженная на 1/2, выводит за пределы множества.

Во третьем примере снова можно сослаться на невозможность умножения на ноль.

В четвертом примере линейное пространство получается, поскольку этот множество является линейным подпространством линейного пространства всевозможных наборов n действительных чисел - ведь если  и - это решения такой системы, то есть  то и их произвольная линейная комбинация является решением, поскольку

А кроме того множество решений непусто, так как нулевое решение у однородной системы есть всегда.