Предмет: Алгебра
Автор: infinitygamermisskot
Вопрос задан 6 лет назад

< >

подскажите, как найти найбольшее значение примера 4sin a + 5 cos a, пожалуйста, с объяснением. заранее, спасибо)

NNNLLL54: не " наибольшее значение примера" , а наибольшее значение функции

infinitygamermisskot: да, правильно подметил

Guerrino: 4sin a + 5 cos a = sqrt(4^2+5^2)*(4/(sqrt(4^2+5^2))*sin a + 5/(sqrt(4^2+5^2))* cos a) = sqrt(41)*sin(a + f) => max значение sqrt(41). здесь cos f = 4/(sqrt(4^2+5^2)). такая замена была сделана, поскольку сумма квадратов величин 4/(sqrt(4^2+5^2)) и 5/(sqrt(4^2+5^2)) равна 1, а потому их можно представить как косинус и синус одного угла, а затем использовать формулу синуса суммы

infinitygamermisskot: спасибо большое

Ответы

Ответ дал: mathkot

2

Ответ:

$\boxed{\sqrt{41}}$

Объяснение:

$max: 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha$

Воспользуемся методом вспомогательного аргумента:

Введем функцию $f(\alpha ) = 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha$

$f(\alpha ) = 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha \bigg |\cdot \dfrac{1}{\sqrt{4^{2} + 5^{2}}}$

$(\sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41})$

$\dfrac{f(\alpha )}{\sqrt{41} } = \dfrac{4}{\sqrt{41} } \cdot \sin \alpha + \dfrac{5}{\sqrt{41} } \cdot \cos \alpha$

Пусть $\sin \phi = \dfrac{4}{\sqrt{41} }$ и $\cos \phi = \dfrac{5}{\sqrt{41} }$

Так как $\sin^{2} \phi + \cos^{2} \phi = 1$

$\bigg (\dfrac{4}{\sqrt{41} } \bigg)^{2} + \bigg (\dfrac{5}{\sqrt{41} } \bigg)^{2} = 1$

$\dfrac{16}{41} + \dfrac{25}{41} = 1$

$\dfrac{41}{41} = 1$

$1 = 1$ , следовательно существует такой угол $\phi$ , что $\sin \phi = \dfrac{4}{\sqrt{41} }$ , а $\cos \phi = \dfrac{5}{\sqrt{41} }$ .

$\dfrac{f(\alpha )}{\sqrt{41} } = \sin \phi \cdot \sin \alpha + \cos \phi \cdot \cos \alpha | \cdot \sqrt{41}$

$f(\alpha ) = \sqrt{41}(\sin \phi \cdot \sin \alpha + \cos \phi \cdot \cos \alpha )$

$f(\alpha ) = \sqrt{41} \sin (\phi + \alpha )$

По свойствам функции синус она достигает максимального значения 1, тогда максимум функции $f(\alpha ) = \sqrt{41} \cdot 1 = \sqrt{41}$

$max: f(\alpha ) =\sqrt{41}$

Приложения:

Похожие вопросы

Русский язык

1 год назад

Помогите срочно. Нужно сделать определить вид,время,число,лицо.спряжение и род. Упало, просвечивает,называют, догорают,сохнет,потрескивает,грызут,молчит,звучит,висит,освещать, будет, ползут.

Русский язык

1 год назад

Помогите пожалуйста срочно 1)Нужны ли запятые в предложении "Здесь растут яблони и груши и дубы и клены " Объясните запятую 2)раскройте скобки ,объясните правописание "Совсем (не) интересно

Математика

2 года назад

срочно пожалуйста ,помогите мне это завтра задавать, умоляю вас даю 10 или даже 20 баллов !!:)

Английский язык

2 года назад

Запишіть дієслово у третій формі to read , to provide, to come, to find , to publish .

Химия

8 лет назад

Вычислить объем воды (приняв плотность воды равной 1 г/мл), который необходимо прилить к 15 г соли для того, чтобы получить 25%-ный раствор соли

География

8 лет назад

Определите суточную амплитуду температуры воздуха и среднюю суточную температуру. ПРОСТО РЕШИТЕ ПРИМЕРЫ (-4)+(-1)+3+1:4= 3-(-4)=

География

9 лет назад

определите по карте смену природных зон по параллели 40 (градусов) с.ш и по меридиану 80 (градусов ) в.д. Объясните причины установленных фактов

Математика

9 лет назад

найдите Д(y) y=√x^2-8x/x+3