Числа от 1 до 400 разбиты на несколько групп. Известно, что если в группе хотя бы два числа, то сумма любых двух чисел из группы делится на 8. Какое наименьшее количество групп может быть?
Полное решение!!!

Надо заметить, что если в группе хотя бы три числа, то все они должны давать либо остатки при делении на , либо все делиться на . Если не делятся на восемь, то .

Если в группе два числа, то их остатки могут быть любыми, лишь бы их сумма делилась на восемь.

Понятно, что наиболее выгодно брать большие группы, потому (пока рассуждаем нестрого) определим в одну большую группу все числа, дающие остаток . Таких всего . Делящихся на тоже . Остается чисел. Их уже можно разбить только парами (или по одному), а потому получаем групп. Итого группы.

Теперь докажем, что меньшее количество групп выделить нельзя. Пусть -- это количество групп, в которых хотя бы три числа, а -- количества групп, где два и одно число соответственно. Пусть и заданы. Тогда если , то и , что больше предъявленного ранее примера. Пусть . Максимальное число элементов в такой группе равно . Тогда . Наконец, если , то суммарное количество чисел в таких группах не может превосходить . Тогда , следовательно, .