Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке P.
докажите, что CP=AB

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. 

Продолжим СР до пересечения с АВ в точке К. 

СК проходит через Р –точку пересечения медиан АМ и ВN, следовательно, СК - медиана, и СР=2 РК. 

Треугольник АВР - прямоугольный, РК в нем – медиана.  

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. 

АВ=2 РК,  

СР=2РК⇒ СР=АВ, что и требовалось доказать.