Найдите производную, только пожалуйста, распишите как решать

Приложения:

Ответы

Ответ дал: natalyabryukhova

Ответ:

Производная найдена:

3. $\displaystyle y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^3} } -\frac{2}{\sqrt[3]{x^5} } -\frac{5}{2\sqrt{x} }+\frac{\sqrt{2} }{x^2}$

4. $\displaystyle y' =\frac{3}{\sqrt[4]{x} } +\frac{2}{\sqrt[3]{x} } +\frac{2}{\sqrt[3]{x^5} } +\frac{3}{\sqrt[4]{x^7} }$

Объяснение:

Требуется найти производную.

$\displaystyle y=\sqrt[3]{x} +\frac{3}{\sqrt[3]{x^2} } -5\sqrt{x} -\frac{\sqrt{2} }{x}$

Преобразуем выражение, используя формулы:

$\displaystyle \boxed { \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} } };\;\;\;\;\;\boxed {\frac{1}{x^n}=x^{-n} }$

$\displaystyle y=x^{\frac{1}{3} }+\frac{3}{x^{\frac{2}{3} }} -5\cdot x^{\frac{1}{2} }-\frac{\sqrt{2} }{x}=x^{\frac{1}{3} } +3x^{-\frac{2}{3} } -5x^{\frac{1}{2} } -\sqrt{2}\;x^{-1}$

Теперь найдем производную.

Используем формулы:

$\displaystyle \boxed {(x^n)'=nx^{n-1}} ;\;\;\;\;\;\boxed {C'=0}$

$\displaystyle y'=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1 } +3\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)x^{-\frac{2}{3}-1 } -5\cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1 } -\sqrt{2}\cdot (-1)\cdot x^{-1-1} = \\ \\=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3} } -2x^{-\frac{5}{3} }-\frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2} } +\sqrt{2} \;x^{-2}=\\\\=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^3} } -\frac{2}{\sqrt[3]{x^5} } -\frac{5}{2\sqrt{x} }+\frac{\sqrt{2} }{x^2}$

Делаем аналогично предыдущему заданию.

Преобразуем выражение:

$\displaystyle y=4\sqrt[4]{x^3} +3\sqrt[3]{x^2}-4-\frac{3}{\sqrt[3]{x^2} } -\frac{4}{\sqrt[4]{x^3} } =\\\\=4x^{\frac{3}{4} }+3x^{\frac{2}{3} }-4-\frac{3}{x^{\frac{2}{3} }} -\frac{4}{x^{\frac{3}{4} }} =\\\\=4x^{\frac{3}{4} }+3x^{\frac{2}{3} }-4-3x^{-\frac{2}{3} }-4x^{-\frac{3}{4} }$

Найдем производную:

$\displaystyle y'=4\cdot \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4}-1 } +3\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1 } -0-3\cdot \left(-\frac{2}{3\right)x^{-\frac{2}{3}-1 }} -4\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)x^{-\frac{3}{4}-1 } =\\\\=3x^{-\frac{1}{4} }+2x^{-\frac{1}{3} }+2x^{-\frac{5}{3} }+3x^{-\frac{7}{4} }=\\\\=\frac{3}{x^{\frac{1}{4} }} +\frac{2}{x^{\frac{1}{3} }} +\frac{2}{x^{\frac{5}{3} }} +\frac{3}{x^{\frac{7}{4} }} =\\\\$