Предмет: Математика
Автор: annka9248
Вопрос задан 6 лет назад

< >

На уроке математики Наташа заметила что разность квадратов последовательно идущих простых чисел равна 360.Что это за числа.

Ответы

Ответ дал: lucicc

………… …………. ……… …… …..

Приложения:

mathgenius: Подбор это легко, конечно, но нет доказательства, что такая пара единственная...

mathgenius: Поэтому так-себе, читерское решение. (вернее это вообще не решение)

lucicc: чел если бы ты знал как мне poxyi

mathgenius: Ну тогда вообще не пиши, умник нашелся...

lucicc: давай я как-нибудь без твоих советов

alchimic20010: а если число 312?

Ответ дал: mathgenius

Ответ: $47$ и $43$

Пошаговое объяснение:

Пусть $p_{1}$ и $p_{2}$ простые числа.

$p_{1}^2 - p_{2} ^2 = 360\\(p_{1} - p_{2} )(p_{1} +p_{2} ) = 360$

Cразу отметаем вариант, что одно из них может быть равно $2$ , ибо соседнее с простым числом $2$ это число $3$ , что нас не устраивает.

Тогда числа $p_{1}$ и $p_{2}$ являются нечетными и дают при делении на $3$ либо одинаковый остаток $1$ или $2$ ( $1-1 = 2-2 = 0$ ), либо дают разные остатки $1$ и $2$ ( $1+2 = 3$ ), иначе говоря, если они дают одинаковый остаток, то $p_{1} +p_{2}$ не делится на $3$ , а $p_{1} -p_{2}$ делится на $3$ . Если же разный остаток, то наоборот $p_{1} +p_{2}$ делится на $3$ , а $p_{1} -p_{2}$ не делится на $3$ . Таким образом, делитель $9$ попадает ровно одному из множителей: $p_{1} +p_{2}$ или $p_{1} -p_{2}$ (разбиение по тройкам исключено).

Как было показано выше: $p_{1}$ и $p_{2}$ нечетны, то есть:

$p_{1} =2n+1\\p_{2} = 2m+1\\(2(n-m))(2(n+m)+2) = 360\\(n-m)(n+m+1) = 90 = 9*5*2$

Нам нужно проверить все разбиения: ( $a,b$ - натуральные числа, $a*b = 90$ ):

$n-m = b\\n+m+1 = a\\a > b\\p_{1} = 2n+1 = a+b\\p_{2} = 2m+1 = a-b\\$

Положим, что $b$ имеет делитель $9$ и $b > 9$ (то есть как минимум $b > =2*9 = 18$ ), но тогда $a < = 5 < 18 < =b$ , что нас не устраивает.

Остается один вариант:

$a = 10\\b = 9\\p_{2} = 10 - 9 = 1$

Не подходит, ибо $1$ число не простое.

Таким образом, множитель $9$ неизбежно улетает к $a$ .

Поскольку $a > b$ , то $a = 9; b = 10$ невозможный вариант.

Остается проверить $3$ варианта:

$a = 90\\b = 1\\p_{1} = 90 + 1 = 91$

Не подходит, ибо $91=7*13$ составное число.

$a = 9*2 = 18\\b = 5\\p_{1} = 18+5 = 23\\p_{2} = 18 - 5 = 13$

Числа $13$ и $23$ , хоть и являются простыми числами, но они не являются последовательно идущими простыми числами, ибо между ними есть, к примеру, простое число $17$ .