Найти наименьшее и наибольшее значения функций в заданных промежутках: $\displaystyle f(x)=\frac{x}{2} -\frac{1}{4} \sin2x+\frac{1}{3} \cos^3x-\cos x~;~\bigg[-\frac{\pi }{2} ~;~\frac{\pi }{2} \bigg].$

Ответы

Ответ дал: lilyatomach

Ответ:

наибольшее значение равно $\dfrac{\pi }{4}$ , наименьшее значение равно $-\dfrac{2}{3}$

Объяснение:

Найдем наименьшее и наибольшее значение функции

$f(x)= \dfrac{x}{2} -\dfrac{1}{4} sin2x +\dfrac{1}{3}cos^{3} x-cosx$

на заданном промежутке $\left[ -\dfrac{\pi }{2} ;\dfrac{\pi }{2}\right]$

Найдем производную данной функции, воспользовавшись формулами

$(x)'=1 ;\\ (sinx)'=cosx; \\( cosx)'= -sinx.$

и правилом нахождения производной сложной функции

$f'(x)= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \cdot 2\cdot \cos2x+ \dfrac{1}{3} \cdot3\cos^{2} x\cdot( -sinx) -(-sinx) =\\\\=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos2x - \cos ^{2} x\cdot sinx +sinx=\dfrac{1}{2} \left (1-cos2x\right) +sinx( 1- cos^{2} x) =\\\\=\dfrac{1}{2} \cdot 2sin^{2} x+sinx\cdot sin^{2} x=sin^{2} x+sin^{3} x= sin^{2} x(1+sinx) .$

Найдем критические точки, решив уравнение

$f'(x)=0$

$sin^{2} x(sinx+1)=0$

$\left [\begin{array}{l} sin^{2}x =0,\\sinx+1 = 0; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} sinx =0,\\sinx= -1; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} x =\pi n,~n\in\mathbb {Z}\\x = -\dfrac{\pi }{2}+2\pi k,~k\in\mathbb {Z} .\end{array} \right.$

Заданному промежутку принадлежат точки $0$ и $-\dfrac{\pi }{2}$ . Поэтому найдем значение функции на концах отрезка и в точке 0.

$f\left(-\dfrac{\pi }{2}\right )=-\dfrac{\pi }{4} -\dfrac{1}{4} \sin (-\pi )+\dfrac{1}{3} cos^{3} \left(-\dfrac{\pi }{2}\right )-\cos \left(-\dfrac{\pi }{2}\right )=-\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{1}{4} \sin \pi =-\dfrac{\pi }{4};$

$f(0)= 0-\dfrac{1}{4} \cdot sin0+\dfrac{1}{3} \cdot cos^{3} 0-cos0=\dfrac{1}{3} \cdot 1-1=\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{3} =-\dfrac{2}{3} ;$

$f\left(\dfrac{\pi }{2}\right )=\dfrac{\pi }{4} -\dfrac{1}{4} \sin \pi +\dfrac{1}{3} cos^{3} \dfrac{\pi }{2}-\cos \dfrac{\pi }{2}=\dfrac{\pi }{4} -\dfrac{1}{4} \sin \pi =\dfrac{\pi }{4}.$