Предмет: Алгебра
Автор: Reideen
Вопрос задан 6 лет назад

< >

Задание приложено...

Приложения:

Ответы

Ответ дал: mathkot

3

Ответ:

$2^{n} > 2n + 1; n \in \mathbb N; n \geq 3$

$n = 3;$

$2^{3} \lor 2 \cdot 3 + 1$

$8 \lor 6 + 1$

$8 > 7 \Longrightarrow 2^{3} > 2 \cdot 3 + 1$

$n = k; \boxed{ 2^{k} > 2k + 1}$ - пусть верно

$2^{k} - 2k - 1 > 0$

$n = k + 1; 2^{k + 1} > 2(k + 1) + 1$

$2^{k} \cdot 2 ^{1} > 2k + 2 + 1$

$2 \cdot 2^{k} > 2k + 3$

------------------------------------------------------

Необходимо доказать:

$2 \cdot 2^{k} > 2k + 3$

$2 \cdot 2^{k} - 2k - 3 > 0$

$2^{k} - 2k - 1 + 2^{k} - 2 > 0$

По индуктивному предположению $2^{k} - 2k - 1 > 0$

То, есть нужно доказать, что $2^{k} - 2 > 0$

$2^{k} > 2^{1} \Longrightarrow k > 1$ , а по условию минимальное $k = 3$ , то есть утверждение $2^{k} - 2 > 0$ , тоже верно. Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для $k = n + 1$ верно

Так как $\boxed{2 \cdot 2^{k} > 2k + 3}$ , то неравенство $\boxed{2^{n} > 2n + 1}$ доказано методом математической индукции.

Приложения:

Похожие вопросы

Литература

1 год назад

Какое литературное направление определяется такими чертами: двоемирием, одиночеством лирического героя, темой свободы?

Химия

1 год назад

При сгорании одного моль сложного эфира образуется пять моль углекислого газа. Сколько получится в итоге моль другого продукта сгорания.

Обществознание

2 года назад

В чём суть золотого правила морали

Математика

2 года назад

Рабочий работает 8 ч, делая 42 детали в час. На новом оборудовании он выполняет дневную норму за 6 ч .На сколько больше деталей в час стал изготавливать рабочий? ПОМОГИТЕ ПЛИИЗ !!! прошууу))))

Геометрия

8 лет назад

Задан треугольник abc, где ac=13,bc=18 и угол acb=60 градусов. Найдите значение ab^2=?

Математика

8 лет назад

Решите пожалуйста по действия))) Заранее благодарю❤

Алгебра

9 лет назад

За 2 стола и 6 стульев заплатили 696 гривен.После того как столы подешевели на 15%,а стулья на 20%,за 1 стол и 2 стула заплатили 261,6 грн.Какой была начальная цена 1 стула и 1 стола?

Алгебра

9 лет назад

Проволку длиной 456м разрезали на 3 куска,причем первый кусок в 4 раза длиннее третьего,а второй на 114м длинец третьего . Найди длину каждого куска