упростите: tg20°×tg10°+1

Ответы

Ответ дал: ldglkva

Ответ:

Упростили выражение:

$\displaystyle tg20^{o} \cdot tg10^{o}+1=\frac{1}{cos20^{o} }.$

Объяснение:

Упростить выражение: tg20°· tg10° + 1.

Воспользуемся следующими свойствами тригонометрических функций.

$\displaystyle tg 2\alpha=\frac{2tg \alpha}{1-tg^{2} \alpha}; \;\;\;\;\;\;\;\displaystyle tg^{2}\alpha+1=\frac{1}{cos^{2} \alpha};\\\\\\\displaystyle tg\alpha=\frac{sin \alpha}{cos \alpha};\;\;\;\; \;\;\; \cos^{2} \alpha-sin^{2} \alpha=cos2\alpha$

Упростим заданное выражение.

Применим формулу тангенса двойного угла:

$\displaystyle tg20^{o} \cdot tg10^{o}+1=\frac{2tg10^{o}}{1-tg^{2}10^{o}} \cdot tg10^{o}+1=$

приведем к общему знаменателю:

$\displaystyle=\frac{2tg10^{o}\cdot tg10^{o}+1-tg^{2}10^{o}}{1-tg^{2}10^{o}}=\\\\\\\displaystyle=\frac{2tg^{2}10^{o}+1-tg^{2}10^{o}}{1-tg^{2}10^{o}}=$

приведем подобные в числителе, применим формулы:

$\displaystyle=\frac{tg^{2}10^{o}+1}{1-tg^{2}10^{o}}=\frac{1}{cos^{2}10^{o}(1-tg^{2}10^{o})}=\\\\\\\displaystyle=\frac{1}{cos^{2}10^{o}-cos^{2}10^{o}\cdot \frac{sin^{2}10^{o}}{cos^{2}10^{o}}}=\\\\\\\displaystyle=\frac{1}{cos^{2}10^{o}-sin^{2}10^{o}}=\frac{1}{cos20^{o}}$