Допоможіть((((( 36 Балів
Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, якщо сума шести перших членів дорівнює -51, а сума чотирнадцяти перших членів дорівнює 49

Ответы

Ответ дал: Vopoxov

Ответ:

$a_1 = - 16 \\ b = 3 \: \: \: \: \: \: \:$

Объяснение:

Дано: арифметическая прогрессия

$a_1; \: a_2 \: ... \: a_n \\ a_2= a_1+b \\ a_n = a_1 + (n-1)b$

где $a_1$ - первый член;

b - разность прогрессии

При этом известно, что

$S_6 = -51; \; S_{14}=49 \\ \\ S_{6}= - 51 \:\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \quad \\ S_6 =a_1 +a_2 +... + a_6 = \frac{a_1 +a_6}{2} \times 6 = -51 \\a_6 =a_1 + (6 - 1)b =a_1 + 5b \: \: = > \\ = > \: \: S_6 = \frac{a_1 {+ a_1 + }5b}{2} \cdot 6 = (2a_1 {+ }5b) \cdot 3 = 6a_1 {+ }15b; \\ 6a_1 {+ }15b = - 51 \: \: < = > \: \boxed{ \:2 a_1 + 5b = - 17} \\ \; \\ S_{14}=49 \:\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \\ S_{14}= \frac{a_1 {+ (a_1 + }13b)}{2} \cdot 14 = (2a_1 {+ }13b) \cdot 7 ; \\ (2a_1 {+ }13b) \cdot 7 = 49 \: \: < = > \: \boxed{\:2 a_1 + 13b =7} \\ \\ \begin{cases}2a_1 + 5b = - 17 \\ 2a_1 + 13b =7\end{cases} \: < = > \begin{cases} - 2a_1 - 5b = 17 \\ 2a_1 + 13b =7\end{cases} + \\ \begin{cases}2a_1 -2a_1 + 13b - 5b = 7 + 17 \\ a_1 = \large \tfrac{7 - 13b}{2}\end{cases} \\ \begin{cases}8b = 24 \\ a_1 = \large \tfrac{7 - 13b}{2}\end{cases} < = > \\ < = > \begin{cases}b = \frac{24}{8} = 3\\ a_1 = \large \tfrac{7 - 13 \cdot3}{2} = - \tfrac{32}{2} \small{ = - 16} \end{cases}$