найдите наибольшие и наименьшие значения на отрезке: y=4-e^-x^2, {0;1}

Найдем производную от нашей функции:

(4 - e^(-x^2))' = 4' - (e^(-x^2))' = -(e^(-x^2))' =

= -(e^(-x^2) * (-x^2)' = -(e^(-x^2)) * (-2x) = 2x * e^(-x^2) =

= 2x / (e^(x^2))

Производная обращается в 0, при x = 0. Производная определена при любом x. Таким образом, критических точек две. x = 0 (так как при ней производная обращается в 0), x = 1 (так как она является концом отрезка). Подставим эти x в исходную функцию

При x = 0

y = 4 - e^(-0^2) = 4 - e^0 = 3

При x = 1

y = 4 - e^(-1^2) = 4 - 1/e

Так как e > 1, то 1/e < 1 => 4 - 1/e > 3

Получаем ответ

Наибольшее значение функции: 4 - 1/e

Наименьшее значение функции: 3