Знайти умовний єкстремум

Ответ:

Объяснение:

f(x, y)=10-4x-2y; 2x²-y²=9

z=f(x, y)

z=10-4x-2y; 2x²-y²=9

φ(x, y)=0

Функция Лагранжа:

L=f(x, y)+λ·φ(x, y), где λ - множитель Лагранжа.

2x²-y²=9 ⇒ 2x²-y²-9=0

L=10-4x-2y+λ(2x²-y²-9)

L'(x)=0-4-0+λ(4x-0-0)=-4+4λx

L'(y)=0-0-2+λ(0-2y-0)=-2-2λy

Составим систему:

L'(x)=0          ⇒ -4+4λx=0      ⇒ λx=1             ⇒ x=1/λ

L'(y)=0          ⇒ -2-2λy=0       ⇒ λy=-1           ⇒ y=-1/λ

φ(x, y)=0      ⇒ 2x²-y²-9=0    ⇒ 2x²-y²-9=0  ⇒ 2x²-y²-9=0  

2·(1/λ)²-(-1/λ)²-9=0

2/λ² -1/λ²=9

1/λ²=9

λ₁=-1/3

x=1/(-1/3)=-3

y=-1/(-1/3)=3

Получили одну стационарную точку M₁(-3; 3)

λ₂=1/3

x=1/(1/3)=3

y=-1/(1/3)=-3

Получили другую стационарную точку M₂(3; -3)

Сделаем небольшую проверку:

2·(-3)²-3²-9=0 ⇒ 18-9-9=0 ⇒ 0=0

2·3²-(-3)²-9=0 ⇒ 18-9-9=0 ⇒ 0=0