Предмет: Математика
Автор: vkpnmjezp
Вопрос задан 2 года назад

Сумма первых четырех чисел геометрической прогрессии равна сумме следующих четырех членов этой прогрессии, умноженной на 16. Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что она является монотонной.

Ответы

Ответ дал: Artem112

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Запишем сумму первых 4 членов геометрической прогрессии:

$S_4=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

Запишем сумму следующих 4 членов геометрической прогрессии как разность между суммами первых 8 и первых 4 членов геометрической прогрессии:

$S_{5-8}=S_8-S_4=\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}-\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

По условию, первая величина в 16 раз больше второй. Получаем уравнение:

$\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}=16\left(\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}-\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}\right)$

$\dfrac{16b_1(q^8-1-(q^4-1))}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1(q^8-1-q^4+1)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1(q^8-q^4)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

$\dfrac{16b_1q^4(q^4-1)}{q-1}=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}$

По условию прогрессия монотонная. Тогда, в частности $b_1\neq 0$ и $q\neq \pm 1$ .

Обе части сокращаем на $\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}\neq 0$ :

$16q^4=1$

$q^4=\dfrac{1}{16}$

$q=\pm\dfrac{1}{2}$

Учитывая, что прогрессия монотонная, отрицательный знаменатель исключаем.

Тогда:

$q=\dfrac{1}{2}$

Ответ: 1/2

Похожие вопросы

Физика

1 год назад

Задание 3 Уменьшится или увеличится потребляемая елочной гирляндой мощность, если уменьшить количество лампочек на одну?

Психология

1 год назад

Что относится к психическим процессам? а) темперамент б) ощущение в) характер г) способности

Русский язык

2 года назад

разжыгаются фонетический разбор слова

Английский язык

2 года назад

I enjoyed my summer holidays переведите пожалуйста

Қазақ тiлi

7 лет назад

Аянның ертегілері не себептен жетім бала туралы болды?

Английский язык

7 лет назад

Your car is ...... than mine? A. more larger B. very larger C.very much larger D.a lot more larger

Математика

8 лет назад

помогите пожайлуста прошу умоляю в 7 надо здать!!!!вариант 4.буду благодарна!!

Математика

8 лет назад

Реши задачу.На пошив 6 одинаковых платьев израсходовали отрез ткани длиной 30м. Сколько таких платьев можно сшить из отреза ткани длиной 75м?