Решить неравенство. Кто-нибудь может помочь?

Приложения:

antonovm: (-1 ; корень из 2 ] , без вас мне бы на этом сайте было скучно

antonovm: решение позже

Ответы

Ответ дал: GoldenVoice

Ответ:

$x \in ( - 1;\,\,\sqrt 2 ]$

Пошаговое объяснение:

$4x + 8\sqrt {2 - {x^2}} > 4 + ({x^2} - x) \cdot {2^x} + {2^{x + 1}} \cdot x\sqrt {2 - {x^2}} ;\\\\(8 - x \cdot {2^{x + 1}})\sqrt {2 - {x^2}} > 4 - 4x + ({x^2} - x) \cdot {2^x};\\\\(8 - x \cdot {2^{x + 1}})\sqrt {2 - {x^2}} > 4(1 - x) - x(1 - x) \cdot {2^x};\\\\(8 - x \cdot {2^{x + 1}})\sqrt {2 - {x^2}} > (1 - x)(4 - x \cdot {2^x});\\\\2(4 - x \cdot {2^x})\sqrt {2 - {x^2}} > (1 - x)(4 - x \cdot {2^x});\\\\(4 - x \cdot {2^x})(2\sqrt {2 - {x^2}} - 1 + x) > 0.$

Рассмотрим $f(x) = 4 - x \cdot {2^x}$ на ОДЗ $\left| x \right| \le \sqrt 2 .$

При отрицательных значения аргумента $f(x)$ очевидно положительна.

При положительных значениях аргумента функции $y = x$ и $y = {2^x}$ возрастающие, поэтому их произведение тоже возрастает, а $f(x) = 4 - x \cdot {2^x}$ — убывает. Значение в правом конце ОДЗ

$f(\sqrt 2 ) = 4 - \sqrt 2 \cdot {2^{\sqrt 2 }} = {(\sqrt 2 )^4} - {(\sqrt 2 )^{2\sqrt 2 + 1}} > 0,$

т. к. $4 > 2\sqrt 2 + 1.$

Значит и при положительных аргументах из ОДЗ $f(x) > 0.$

Поэтому задача сводится к решению неравенства

$2\sqrt {2 - {x^2}} > 1 - x;\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - x < 0,\\2 - {x^2} \ge 0,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0,\\4(2 - {x^2}) > {(1 - x)^2};\end{array} \right.\end{array} \right.\\$

$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1,\\ - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 ,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1,\\8 - 4{x^2} > 1 - 2x + {x^2};\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x \in (1;\,\,\sqrt 2 ],\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1,\\5{x^2} - 2x - 7 < 0;\end{array} \right.\end{array} \right.\\$

$\\\left[ \begin{array}{l}x \in (1;\,\,\sqrt 2 ],\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1,\\5(x + 1)\left( {x - \displaystyle\frac{7}{5}} \right) < 0;\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x \in (1;\,\,\sqrt 2 ],\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1,\\x \in \left( { - 1;\,\,\displaystyle\frac{7}{5}} \right);\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x \in (1;\,\,\sqrt 2 ],\\x \in ( - 1;\,\,1];\end{array} \right.\\x \in ( - 1;\,\,\sqrt 2 ].$