Доведіть, що чотирикутник АBCD є прямокутником, якщо А (5; -3; 2) , В(9;-1; 3), С (12; -5; -1), D(8; -7; -2).​

Доведіть, що чотирикутник АBCD є прямокутником, якщо

А (5; -3; 2) , В(9;-1; 3), С (12; -5; -1), D(8; -7; -2).

Находим векторы, совпадающие с противоположными сторонами заданного четырёхугольника.

AB = (9-5; -1-(-3); 3-2) = (4; 2; 1),

DC = (12-8; -5-(-7); -1-(-2)) = (4; 2; 1),

BC = (12-9; -5-(-1); -1-3) = (3; -4; -4),

AD = (8-5; -7-(-3); -2-2) = (3; -4; -4).

Так как они попарно равны, то ABCD – параллелограмм.

Далее надо доказать, что один из углов – прямой, или что диагонали равны.

Примем второй вариант.

AC = (12-5; -5-(-3); -1-2) = (7; -2; -3), модуль равен √(49+4+9) = √62.

BD = (8-9; -7-(-1); -2-3) = (-1; -6; -5), модуль равен √(1+36+25) = √62.

Диагонали равны, значит, ABCD – прямоугольник.