Докажем, что прямые перпендикулярны, если
x/-1=y+1/2=z-5/-3 и
3x+y-5z=0
2

Направляющий вектор первой прямой получаем из её уравнений.

n1 = (-1; 2; -3).

Направляющий вектор второй прямой, заданной в общем виде как линия пересечения плоскостей 3x + y – 5z = 0 и  2x + 3y – 8z + 1 = 0, можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.

Для плоскости P1: 3x + y - 5z = 0 нормальный вектор имеет координаты N1(3, 1, -5); для плоскости P2: 2x + 3y − 8z + 1, нормальный вектор имеет координаты N2(2, 3, −8).

Находим векторное произведение:

[N1,N2] =  i        j       k |        I        j

                3       1      -5 |       3       1

               2        3      -8 |       2       3 = -8i – 10j + 9k + 24j + 15i – 2k =

                                                         = 7i + 14j + 7k.

Таким образом, направляющий вектор второй прямой

3x + y – 5z = 0 и  2x + 3y – 8z + 1 = 0; имеет координаты

n2 = (7; 14, 7).

Доказательством перпендикулярности прямых служит равенство нулю их скалярное произведение.

Находим его:

n1 = (-1; 2; -3).

n2 = (7; 14, 7)

n1*n2  = -1*7 + 2*14 + (-3)*7 = -7 + 28 – 21 = 0. Доказано.