Каждое целое число окрашено в чёрный или белый цвет.
Оказалось, что любые два числа, разность которых равна 33 или 101, окрашены в разные цвета. Сколько существует таких раскрасок?
Ответы
Пусть число окрашено в некоторый цвет.
Тогда, по условию, с одной стороны:
- число окрашено в другой цвет по отношению к числу
;
- число окрашено в другой цвет по отношению к числу
, а значит в тот же цвет, что и число
;
- число окрашено в другой цвет по отношению к числу
, а значит и в другой цвет по отношению к числу
.
С другой стороны:
- число окрашено в другой цвет по отношению к числу
.
Таким образом, мы получили, что числа и
окрашены в другой цвет по отношению к числу
, то есть между собой они окрашены в один и тот же цвет.
Заметим, что числа и
- соседние числа одной четности. Поскольку соседние числа одной четности окрашены в один и тот же цвет, можно сделать вывод, что все числа одной четности окрашены в один и тот же цвет.
Обратим внимание, что если к некоторому числу прибавлять 33 или 101, то мы будем получать не только числа другого цвета, как это следует из условия, но и числа другой четности. Все такие числа другой четности вновь будут иметь между собой один и тот же цвет.
Значит, числа раскрашены по принципу своей четности. Раскрасить числа в зависимости от их четности можно двумя способами:
1) черный цвет - четные; белый цвет - нечетные;
2) черный цвет - нечетные; белый цвет - четные.
Ответ: 2 раскраски