найти производную функции y=(sin3x)^lnx

Ответы

Ответ дал: natalyabryukhova

Ответ:

$\displaystyle y'=\left(\frac{ln\;sin3x}{x}+3lnx\cdot ctg3x\right)\cdot (sin3x)^{lnx}$

Пошаговое объяснение:

Найти производную

$\displaystyle \bf y=(sin3x)^{lnx}$

Здесь и показатель и основание степени зависят от х.

Прологарифмируем обе части:

$\displaystyle lny=ln(sin3x)^{lnx}\\\\lny=lnx\cdot ln\;sin3x$

Продифференцируем обе части:

Так как у - функция от х, то ln у - сложная функция.

Производная произведения:

(uv)'=u'v+uv'

Так же понадобятся следующие формулы:

$\boxed {\displaystyle \bf (ln\;u)'=\frac{u'}{u} ;\;\;\;\;\;(sin\;u)'= cos\;u\cdot u' }$

$\displaystyle \frac{1}{y} \cdot y'=\frac{1}{x}\cdot ln\;sin3x+lnx\cdot\frac{(sin3x)'}{sin3x} \\\\ \frac{1}{y} \cdot y'=\frac{1}{x}\cdot ln\;sin3x+lnx\cdot\frac{cos3x\cdot (3x)'}{sin3x} \\\\ \frac{1}{y} \cdot y'=\frac{1}{x}\cdot ln\;sin3x+\frac{3lnx\cdot cos3x}{sin3x} \\\\y'=\left(\frac{ln\;sin3x}{x}+3lnx\cdot ctg3x\right)\cdot y \\\\y'=\left(\frac{ln\;sin3x}{x}+3lnx\cdot ctg3x\right)\cdot (sin3x)^{lnx}$