Через вершину А прямокутного трикутника ABC (кут В=90°) проведено пряму m, перпендикулярну площині ABC. Знайти відстань між прямими м i прямою, яка містить медіану BM, якщо АС=30 см, cos кута АCB=0,8.​

Ответ:

n' = n/|n|

n' = (1/√13) i - (

Объяснение:

Спочатку знайдемо координати точок A, B та C на площині. За умовою, ми знаємо, що кут В = 90°, тому можна скористатися теоремою Піфагора:

AB² + BC² = AC²

Так як кут В = 90°, то медіана BM - це середня лінія трикутника ABC, що ділить сторону AC пополам, тобто BM = MC.

Оскільки АС = 30 см, то ми можемо використати відомі значення, щоб знайти довжину сторін BC:

BC² = AC² - AB²

BC² = (30 см)² - (AB)²

Тепер нам потрібно знайти косинус кута АCB. Ми можемо використати теорему косинусів для цього:

cos(ACB) = BC/AC

cos(ACB) = (30 см)² - (AB)² / AC²

0.8 = (30 см)² - (AB)² / AC²

Ми маємо дві рівності з двома невідомими (AB та AC). Можемо вирішити цю систему рівнянь методом елімінації:

(30 см)² - (AB)² = 0.8AC²

(30 см)² - (AB)² = 0.8[(30 см)² - (AB)²]

0.2(AB)² = 0.2(30 см)²

(AB)² = 300 см²

AB = 10√3 см

Тепер, ми можемо знайти координати точок A, B та C, використовуючи теорему Піфагора та розуміючи, що медіана BM = MC:

A (0, 0, 0)

B (0, AB, 0)

C (AC, 0, 0)

M (AC/2, AB/2, 0)

Далі, ми можемо знайти напрямок вектора, який лежить на прямій m, проходить через точку А та перпендикулярний до площини ABC. Цей вектор буде рівний векторному добутку двох векторів: AB та AC:

n = AB x AC

n = (10√3 см) i - (30 см) j

Нормалізуємо n, щоб вектор мав одиничну довжину:

n' = n/|n|

n' = (1/√13) i - (

За теоремою Піфагора знаходимо сторону BC:

BC = AC * cos(ACB) = 30 * 0.8 = 24 см

За теоремою про медіани знаходимо відрізок BM:

BM = 0.5 * sqrt(2 * AC^2 + 2 * BC^2 - AB^2) = 0.5 * sqrt(2 * 30^2 + 2 * 24^2 - 2^2) = 27.9 см

Знаходимо точку перетину медіани BM з прямою m. Оскільки пряма m перпендикулярна до площини ABC, то пряма, яка містить медіану BM, також лежить в цій площині. Тому ми можемо провести пряму, паралельну BC і проходячу через точку B. Ця пряма перетне медіану BM в точці D, яка ділить її на дві рівні частини. Точку D можна знайти, використовуючи властивості медіани, тобто вона ділить відрізок BM у відношенні 2:1, тобто BD = 2/3 * BM = 18.6 см

Знаходимо відстань між прямими m і BM за формулою:

відстань = BD * sin(ABD) = BD * sin(ACB) = 18.6 * 0.8 = 14.88 см

Отже, відстань між прямими m і прямою, що містить медіану BM, дорівнює 14.88 см.