Оксана Евгеньевна написала более 30 различных
натуральных чисел не превышающих 2023.
Может ли оказаться, что ни одно из чисел точным квадратом не
является, а произведение любой пары из них является точным
квадратом?

Ответ:

Рассмотрим числа, которые являются произведением двух натуральных чисел, каждое из которых встречается нечетное число раз (иначе их произведение не будет квадратом).

Таким образом, мы можем представить каждое такое число в виде $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$, где $p_i$ - различные простые числа, а $a_i$ - нечетные натуральные числа.

Обозначим через $A$ множество всех чисел, которые написала Оксана Евгеньевна. Так как чисел от 1 до 2023 всего 44, то по принципу Дирихле в $A$ найдутся два числа $x$ и $y$, которые имеют одинаковое разложение на простые множители, но различаются в количестве одних из этих множителей.

Тогда произведение $xy$ будет иметь нечетные показатели степеней для всех простых множителей, входящих в разложение $x$ или $y$, а значит, $xy$ будет точным квадратом. Однако, по условию ни $x$, ни $y$ не являются точными квадратами, что противоречит нашему предположению. Следовательно, такой ситуации не может возникнуть, и ответ на вопрос задачи - нет, это невозможно.