При каких значениях a и b система уравнений
{x-2y=3
{ax+4y=b
a)имеет бесконечное число корней
b) имеет единственный корень
c) не имеет корней

Решаем данную систему уравнений методом Крамера.

Определитель системы: D =
|1  -2|
|a  4 |

D = 1 ⋅ 4 - (-2) ⋅ a = 4 + 2a

Определитель первой замены: D1 =
|3  -2|
|b  4 |

D1 = 3 ⋅ 4 - (-2) ⋅ b = 12 + 2b

Определитель второй замены: D2 =
|1  3 |
|a  b |

D2 = 1 ⋅ b - 3 ⋅ a = b - 3a

Система будет иметь бесконечное количество решений, если определитель системы равен 0, а определитель одной из замен не равен 0.

1. Если D ≠ 0 и D1 = 0, то система решений не имеет.
4 + 2a ≠ 0, a ≠ -2
12 + 2b = 0, b = -6
Ответ: нет корней.

2. Если D ≠ 0 и D2 = 0, то система решений не имеет.
4 + 2a ≠ 0, a ≠ -2
b - 3a = 0
b = 3a
Ответ: нет корней.

3. Если D = 0 и хотя бы один из определителей замен не равен 0, то система будет иметь бесконечное число решений.
4 + 2a = 0, a = -2
D1 = 12 + 2b ≠ 0 при любом b
D2 = b - 3a = b + 6

Ответ: при a = -2, b любое решение будет существовать, и их бесконечное число.Решаем данную систему уравнений методом Крамера.

Определитель системы: D =
|1  -2|
|a  4 |

D = 1 ⋅ 4 - (-2) ⋅ a = 4 + 2a

Определитель первой замены: D1 =
|3  -2|
|b  4 |

D1 = 3 ⋅ 4 - (-2) ⋅ b = 12 + 2b

Определитель второй замены: D2 =
|1  3 |
|a  b |

D2 = 1 ⋅ b - 3 ⋅ a = b - 3a

Система будет иметь бесконечное количество решений, если определитель системы равен 0, а определитель одной из замен не равен 0.

1. Если D ≠ 0 и D1 = 0, то система решений не имеет.
4 + 2a ≠ 0, a ≠ -2
12 + 2b = 0, b = -6
Ответ: нет корней.

2. Если D ≠ 0 и D2 = 0, то система решений не имеет.
4 + 2a ≠ 0, a ≠ -2
b - 3a = 0
b = 3a
Ответ: нет корней.

3. Если D = 0 и хотя бы один из определителей замен не равен 0, то система будет иметь бесконечное число решений.
4 + 2a = 0, a = -2
D1 = 12 + 2b ≠ 0 при любом b
D2 = b - 3a = b + 6

Ответ: при a = -2, b любое решение будет существовать, и их бесконечное число.