< >

Дифференциальные уравнения первого порядка

Приложения:

Ответы

Ответ дал: MrSolution
0

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Номер 1:

y'=\dfrac{y^2}{x^2}-2\dfrac{y}{x}+2

Введем замену:

y=zx,\;y'=z'x+z

Тогда уравнение примет вид:

z'x+z=z^2-2z+2\\z'x=z^2-3z+2\\\dfrac{dz}{dx}x=(z-1)(z-2)\\\dfrac{dz}{(z-1)(z-2)}=\dfrac{dx}{x}\;\;\;(*)

Очевидно, что x=0 не особое решение исходного уравнения.

А вот z=1\;(y=x) и z=2\;(y=2x) будут особыми решениями.

Теперь переходим к интегрированию обеих частей равенства:

$\Large \int \dfrac{dz}{(z-1)(z-2)}=\int\dfrac{dx}{x}$

\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}=\dfrac{(z-1)-(z-2)}{(z-1)(z-2)}=\dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{z-1}

Откуда получаем:

\ln|z-2|-\ln|z-1|=\ln|C_0x|\\\left(\dfrac{z-2}{z-1}\right)^2=Cx^2

Тогда итоговый ответ имеет вид:

(y-2x)^2=Cx^2(y-x)^2

Заметим, что решение y=2x входит в записанное выше при C=0.

Тогда в ответе его можно не писать.

Итого:

(y-2x)^2=Cx^2(y-x)^2,\;\;\;y=x

Номер 2:

xy'=3\sqrt{2x^2+y^2}+y\\x(z'x+z)=3|x|\sqrt{2+z^2}+zx\\\dfrac{dz}{dx}|x|=3\sqrt{2+z^2}\\\dfrac{dz}{3\sqrt{2+z^2}}=\dfrac{dx}{|x|}

x=0 не особое решение, корень положителен.

$\Large\int\dfrac{dz}{3\sqrt{2+z^2}}=\int\dfrac{dx}{|x|}$

\dfrac{1}{3}\ln|z+\sqrt{z^2+2}|=\mathrm{sgn}(x)\ln|C_0x|\\\\\ln\left|\dfrac{y}{x}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}+2}\right|=\mathrm{sgn}(x)\ln|Cx^3|

Номер 3:

y'+\dfrac{2x}{1+x^2}y=\dfrac{2x^2}{1+x^2}

Замена:

y=uv,\;y'=u'v+uv'.

u'v+uv'+\dfrac{2x}{1+x^2}uv=\dfrac{2x^2}{1+x^2}\\u'v+u\left(v'+\dfrac{2x}{1+x^2}v\right)=\dfrac{2x^2}{1+x^2}\;\;\;(*)

v'+\dfrac{2x}{1+x^2}v=0\\\dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{2x}{1+x^2}v\\\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{d(1+x^2)}{1+x^2}

$\Large\int\dfrac{dv}{v}=-\int\dfrac{d(1+x^2)}{1+x^2}$

v=\dfrac{\widetilde{C}_0}{1+x^2}

Возьмем v=\dfrac{1}{1+x^2}

Подставляем в (*):

\dfrac{u'}{1+x^2}=\dfrac{2x^2}{1+x^2}\\u'=2x^2

$\Large u=2\int x^2dx$

u=\dfrac{2x^3}{3}+C_0

Обратная замена:

y=\dfrac{2x^3+C}{3(1+x^2)}

Найдем теперь C.

y(0)=\dfrac{C}{3}=\dfrac{2}{3},\;\Rightarrow\;C=2

То есть ответ имеет вид:

y=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1+x^3}{1+x^2}

Задание выполнено!

Похожие вопросы
Қазақ тiлi
1 год назад
тұрлаусыз мүшелеріне не жатады
История
1 год назад
!!!!ДОПОМОЖІТЬ!!!! напишить повідомлення на тему "Життя чумаків",​
Другие предметы
1 год назад
визначення термін явища
Информатика
1 год назад
ПРОЕКТ Хрестики-нулики
Українська література
2 года назад
Що зробила Аліса коли потрапила в Задзеркалля? а)помила дзеркало б)почистила від золи Короля в)розпитала у присутніх, куди вона потрапила
Музыка
2 года назад
1. Який композитор написав увертюру "Егмонт" 2. Хто такий Егмонт? 3. Який композитор написав Симфонiю №40 4. Про яку симфонiю Бетховен сказав: "Так доля стукаэ в дверi!" 5. В якому мiстi навчався
Математика
8 лет назад
Как решить и проверить обратным действием пример 273:9
Обществознание
8 лет назад
плюсы и минусы экономической системы