Доведіть, що функція у = f(x) зростає на всій області визначення a) f(x) = x³ + 3; б) f(x) = 4x- 1; в) f(x) = 5 +√x.
​

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a)f'(x) = 3x² > 0

Оскільки 3x² є додатнім числом для всіх значень x (оскільки квадрат дійсного числа завжди не від'ємний), то маємо, що похідна f'(x) додатна на всьому діапазоні значень x. Тому функція f(x) = x³ + 3 зростає на всій області визначення.

b)f'(x) = 4

f'(x) є постійним числом, тобто не залежить від значення x. Оскільки f'(x) = 4 > 0, то маємо, що похідна f'(x) додатна на всьому діапазоні значень x. Тому функція f(x) = 4x - 1 зростає на всій області визначення.

c)f'(x) = (5 + √x)

Шукаємо похідну:

f'(x) = 0 + 1/(2√x) = 1/(2√x)

Оскільки корінь √x завжди додатній  на діапазоні значень x > 0, а дріб 1/(2√x) завжди додатній на цьому діапазоні, то маємо, що похідна f'(x) додатна на всьому діапазоні значень x > 0, що в свою чергу означає, що функція зростає на всій області визначення, тобто на всьому діапазоні значень x > 0.