Диагонали параллелограмма А В С D пересекаются в точке О. Диагональ B D в два раза меныше диагонали АС, АО = 4,5 см. Най-дите:
a) АС и BD; б) Ралов, если АВ = 5 см.

Ответ:a) Пусть AC = x, тогда BD = x/2 (так как BD в два раза меньше AC). Так как диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О, то точка О является серединой их общего отрезка. Значит, OD = OC = x/2. Также мы знаем, что АО = 4,5 см.

Рассмотрим треугольник AOD. Мы знаем две его стороны: AO = 4,5 см и OD = x/2. Третью сторону AD можно найти с помощью теоремы Пифагора:

AD^2 = AO^2 + OD^2

AD^2 = (4,5)^2 + (x/2)^2

Рассмотрим теперь треугольник ABC. Мы знаем, что BC = AD (параллельные стороны параллелограмма равны), а также что AC = x. Третью сторону AB можно найти с помощью теоремы Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2

AB^2 = x^2 + (AD)^2

Но мы уже нашли значения AD и BC, выраженные через x. Подставляем их в уравнение:

AB^2 = x^2 + ((4,5)^2 + (x/2)^2)

Раскрываем скобки и упрощаем:

AB^2 = x^2 + 20,25 + x^2/4

AB^2 = 5x^2/4 + 20,25

Теперь мы знаем значения AB и AD выраженные через x. Значит, мы можем найти значения AC и BD:

AC = x = √(4AB^2/5 - 81/5)

BD = x/2 = √(AB^2/5 - 81/20)

Ответ: AC = √(4AB^2/5 - 81/5), BD = √(AB^2/5 - 81/20).

б) Пусть h - высота параллелограмма, опущенная на сторону AB. Тогда площадь параллелограмма выражается как S = AB * h. Но мы также можем выразить площадь параллелограмма через длины его диагоналей: S = (AC * BD)/2.

Приравниваем эти выражения и выражаем высоту h:

AB * h = (AC * BD)/2

h = (AC * BD)/(2AB)

Теперь мы можем найти высоту h, а затем и радиус R описанной окружности (так как AB, BC, CD, DA - это стороны четырехугольника, описанного около окружности).

h = (AC * BD)/(2AB) = (√(4AB^2

Пошаговое объяснение: