‼️ ТЕРМІНОВО‼️
1. Знайти критичні точки функції y = x² — 4x – 5.
2. Знайдіть проміжки монотонності та точки екстремуму функції y = x² - 6.
3. Знайдіть найбільше та найменше значення функції: y = x² - 3x + 2 на проміжку [0; 4]
4. Дослідіть функцію f(x) = x4 - 8x² та побудуйте ескіз графіку даної функції.

Ответы

Ответ дал: aleksandrgienko17

Ответ:

1.Для знаходження критичних точок функції необхідно знайти її похідну та розв'язати рівняння f'(x) = 0.

Запишемо спочатку похідну функції y = x² — 4x – 5:

f'(x) = 2x - 4

Тепер розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:

2x - 4 = 0

x = 2

Отже, критична точка функції y = x² — 4x – 5 має координати (2, -9).

Щоб перевірити, чи є ця точка мінімумом або максимумом функції, можна взяти другу похідну і проаналізувати її знак:

f''(x) = 2

Оскільки f''(2) = 2 > 0, то критична точка (2, -9) є точкою мінімуму функції.
2.Для знаходження проміжків монотонності та точок екстремуму функції y = x² - 6, потрібно знайти її похідну та відповідно проаналізувати знак похідної.

Запишемо похідну функції:

y' = 2x

Далі, розв'яжемо рівняння y' = 0, щоб знайти точки екстремуму функції:

2x = 0

x = 0

Отже, точка екстремуму функції y = x² - 6 має координати (0, -6).

Тепер, проаналізуємо знак похідної y' в різних інтервалах значень x:

Якщо x < 0, то y' < 0, тобто функція y = x² - 6 є спадною на проміжку (-∞, 0).

Якщо x > 0, то y' > 0, тобто функція y = x² - 6 є зростаючою на проміжку (0, ∞).

Таким чином, ми знайшли, що функція спадає на проміжку (-∞, 0) і зростає на проміжку (0, ∞). Точка (0, -6) є точкою мінімуму функції.
3. Щоб знайти найбільше та найменше значення функції y = x² - 3x + 2 на проміжку [0; 4], потрібно знайти її значення в кінцях проміжку та в критичних точках всередині проміжку.

Запишемо спочатку похідну функції:

y' = 2x - 3

Розв'яжемо рівняння y' = 0, щоб знайти критичну точку всередині проміжку:

2x - 3 = 0

x = 3/2

Тепер знайдемо значення функції y на кінцях проміжку:

y(0) = 0² - 3(0) + 2 = 2

y(4) = 4² - 3(4) + 2 = 2

Таким чином, найбільшим і найменшим значеннями функції y на проміжку [0; 4] є 2, яке досягається на кінцях проміжку. Критична точка всередині проміжку не є точкою екстремуму функції, оскільки знак похідної змінюється через неї (функція спочатку спадає, а потім зростає).
4.

Для дослідження функції f(x) = x4 - 8x², знайдемо її похідну та другу похідну:

f'(x) = 4x³ - 16x

f''(x) = 12x² - 16

Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння f'(x) = 0:

4x³ - 16x = 0

4x(x² - 4) = 0

x₁ = 0, x₂ = -2, x₃ = 2

Таким чином, ми знаходимо три критичні точки: x₁ = 0, x₂ = -2 та x₃ = 2.

Дослідимо функцію на монотонність та знак другої похідної на інтервалах між критичними точками:

Інтервал (-∞, -2): f'(x) < 0, f''(x) > 0, тому функція монотонно спадає та має мінімум у точці x = -2.

Інтервал (-2, 0): f'(x) > 0, f''(x) > 0, тому функція монотонно зростає.

Інтервал (0, 2): f'(x) > 0, f''(x) > 0, тому функція монотонно зростає.