докажите что средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию площади которых относятся как 1:3

Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника. Значит, четырехугольник, который она отсекает, является трапецией, ведь трапеция - четырехугольник, пара противоположных сторон которого параллельна (а другая пара, очевидно, не параллельна).

Осталось доказать, что площадь маленького треугольника равна 1/4 площади большого. Тогда площадь трапеции равна 3/4 площади большого треугольника. Эти треугольники подобны по отношению двух сторон и углу между ними, так как коэффициент подобия равен 1/2, площади треугольников относятся как 1:4, что и требовалось.