15. Спростіть вираз √(1-2 sin a cos a) +√ (1 + 2 sin a cos a), якщо π/4<a<π/2

Ответы

Ответ дал: NNNLLL54

Ответ:

Распишем подкоренные выражения как квадраты суммы и разности .

$\bf 1-2\, sina\cdot cosa=sin^2a+cos^2a-2\, sina\cdot cosa=(sina-cosa)^2\\\\ 1+2\, sina\cdot cosa=sin^2a+cos^2a+2\, sina\cdot cosa=(sina+cosa)^2$

Тогда заданное выражение имеет вид

$\bf \sqrt{1-2\, sina\cdot cosa}+\sqrt{1+2\, sina\cdot cosa}=\sqrt{(sina-cosa)^2}+\sqrt{(sina+cosa)^2}=\\\\=|\, sina-cosa\, |+|\, sina+cosa\, |$

На интервале $\bf \Big(\dfrac{\pi }{4}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\Big)$ значения функции $\bf y=sinx$ больше

значений функции $\bf y=cosx$ . Тогда $\bf sina > cosa$ при $\bf a\in \bf \Big(\dfrac{\pi }{4}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\Big)$ и

$\bf sina-cosa > 0\ \ \Rightarrow \ \ |\, sina-cosa\, |=sina-cosa\ ,\\\\sina+cosa > 0\ \ \Rightarrow \ \ |\, sina+cosa\, |=sina+cosa$ .

Окончательно получаем

$\bf \sqrt{1-2\, sina\cdot cosa}+\sqrt{1+2\, sina\cdot cosa}=|\, sina-cosa\, |+|\, sina+cosa\, |=\\\\=sina-cosa+sina+cosa=2\, sina$

Приложения:

samarcevaludmila59: Спасибо

Похожие вопросы

Математика

1 год назад

Кыргыз тили

1 год назад

Информатика

1 год назад

География

1 год назад

Музыка

2 года назад

Биология

2 года назад

Математика

8 лет назад

Биология

8 лет назад