Предмет: Алгебра
Автор: esonovdaler57
Вопрос задан 1 год назад

< >

1. Известно, что sina + cosa = a. Найдите значение выражения sin^6a + cos^6a.

ГАЗ52: 1-1/4•( а ²-1)²

esonovdaler57: Можете полностью решить задачу

esonovdaler57: Большое спасибо

Ответы

Ответ дал: Artem112

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Преобразуем выражение:

$\sin^6\alpha +\cos^6\alpha =(\sin^2\alpha)^3 +(\cos^2\alpha)^3=$

$=\big(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\big)\big((\sin^2\alpha )^2-\sin^2\alpha \cos^2\alpha +(\cos^2\alpha )^2\big)=$

$=1\cdot\big((\sin^2\alpha )^2 +2\sin^2\alpha \cos^2\alpha+(\cos^2\alpha )^2-3\sin^2\alpha \cos^2\alpha\big)=$

$=(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha )^2-3\sin^2\alpha \cos^2\alpha=1^2-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2=1-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2$

Необходимо найти произведение синуса и косинуса, зная их сумму. Рассмотрим известное соотношение и возведем в квадрат левую и правую его части:

$\sin \alpha + \cos\alpha = a$

$(\sin \alpha + \cos\alpha)^2 = a^2$

$\sin^2 \alpha + \cos^2\alpha+2\sin\alpha \cos\alpha = a^2$

$1+2\sin\alpha \cos\alpha = a^2$

$2\sin\alpha \cos\alpha = a^2-1$

$\sin\alpha \cos\alpha = \dfrac{a^2-1}{2}$

Подставим в ранее полученное соотношение для суммы шестых степеней:

$\sin^6\alpha +\cos^6\alpha =1-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2=1-3\cdot\left( \dfrac{a^2-1}{2} \right)^2=$

$=1- \dfrac{3(a^4-2a^2+1)}{4} =\dfrac{4-3a^4+6a^2-3}{4} =\boxed{\dfrac{1+6a^2-3a^4}{4}}$

Похожие вопросы

Українська література

1 год назад

1. У поезії «Заповіт» Т. Шевченка звучить заклик до боротьби, виражений словами: А «було чути, як реве ревучий»; Б «на Вкраїні милій»; В «кайдани порвіте»; Г «не забудьте пом'янути». (0,5б.)

Физика

1 год назад

Частота коливань маятника дорівнює 8 с -1 . Знайдіть період коливань маятника. Скільки коливань здійснює маятник за 2 хв?

Физика

1 год назад

що таке геомагнітне поле срочнооо дам 25

Информатика

1 год назад

компьютерлік вирустар қалай қорғану ға болады? помогите пожалуйста мне очень важно этот вопрос

Английский язык

2 года назад

Complete the missing words in the dialogues. 0 X: What kind of films do you like, Jake? Y: I like comedies - films that make me laugh. 1 X: Who's you favourite a ? Y: Brad Pitt - he's in some amazing

Физика

2 года назад

100 б і краща відповідь

Химия

8 лет назад

СРОЧНО помогите по химии

Математика

8 лет назад

Найди значение выражений.15*3, 19*2, 17*4, 36:2 ,51:3,64:4, 66:11, 45:15 ,70:35.