Дан правильный тетраэдр ABCD. Точки К и М - середины рёбер BD и CD соответственно. Найдите углы между плоскостями:
a) AKG и ABD; 6) AMB и ABC; в) АКМ и ABC.

cos20093: Я мог и ошибиться, проверьте. А по методике решения - бывает полезно считать не углы между плоскостями, а между прямыми, им перпендикулярными (или, то же самое, между нормальными векторами)

cos20093: Да, в третьем случае наврал, попробуйте решить

cos20093: В сечении куба получается неправильный пятиугольник. Если выбрать точку Q за начало координат, сохраняя направление осей вдоль ребер куба, то уравнение плоскости AKM в отрезках окажется 3x/2+y/2+z/2=1; (размер ребра куба принят за 2, легко убедиться, что точки K(1,-2,1) M(1,-1,0) A(0,0,2) удовлетворяют уравнению. Значит нормальный вектор (3/2,1/2,1/2) и надо найти его угол с вектором (1,1,1)

cos20093: Для упрощения вектор, перпендикулярный плоскости AKM, можно умножить на 2, получится (3,1,1) его длина √11, длина (1,1,1) √3; скалярное произведение 5, косинус угла 5/√33; проверьте, хотя раз точки попали на плоскость с тем уравнением, скорее всего тут все верно. Но мало ли

cos20093: Стоит заметить, если кто-то будет в этом разбираться, что помещение начала координат в "естественную" вершину куба P, совпадающую с вершиной тетраэдра D, приведет к изменению уравнения плоскости AKM только в свободном члене - вместо 1 там будет 2. Легко проверить, что координаты точек тогда будут K(1,0,1) M(1,1,0) A(0,2,2), и что они удовлетворяют 3x+y+z=4; а через три точки что?... точно. То есть вектор (3,1,1) и есть нормаль к AKM

cos20093: Кстати, уравнение плоскости я не подбирал - я строил сечение и считал отрезки.

cos20093: Просто когда уравнение найдено, доказать его верность куда проще, подставив координаты трех точек.

liftec74: А причем тут куб ? Дан тетраэдр !

liftec74: Извините! Кажется понял Ваше решение. Тетраэдр вписан в куб! Я это упустил.

cos20093: Там написано в первом комментарии, как именно вписан. Это известный прием, но надо знать (и уметь доказывать), по сути, только один факт об этой конструкции - что грани вписанного тетраэдра перпендикулярны большим диагоналям этого куба (граней тетраэдра 4 и диагоналей куба тоже 4), и делят эти диагонали в пропорции 2:1.