Предмет: Алгебра
Автор: jasurbegimkulov
Вопрос задан 1 год назад

< >

cos3xcos³x+sin3xsin³x=0
сколько корней имеет это уравнение на промежутке [0,2π]

Ответы

Ответ дал: Artem112

0

Ответ:

4 корня имеет заданное уравнение на промежутке [0; 2π]

Решение:

$\cos3x\cos^3x+\sin3x\sin^3x=0$

Представим куб как произведение квадрата и первой степени:

$\cos3x\cos x\cos^2x+\sin3x\sin x\sin^2x=0$

Дважды применим основное тригонометрическое тождество:

$\cos3x\cos x(1-\sin^2x)+\sin3x\sin x(1-\cos^2x)=0$

$\cos3x\cos x-\cos3x\cos x\sin^2x+\sin3x\sin x-\sin3x\sin x\cos^2x=0$

Сгруппируем слагаемые:

$(\cos3x\cos x+\sin3x\sin x)-\sin x\cos x(\cos3x\sin x+\sin3x\cos x)=0$

Воспользуемся формулами косинуса разности и синуса суммы:

$\cos(3x-x)-\sin x\cos x\sin(3x+x)=0$

$\cos2x-\sin x\cos x\sin4x=0$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\cos2x-\sin x\cos x\cdot 2\sin2x\cos2x=0$

$\cos2x-2\sin x\cos x\cdot \sin2x\cos2x=0$

Вновь воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\cos2x-\sin 2x\cdot \sin2x\cos2x=0$

$\cos2x(1-\sin^22x)=0$

В скобках применим следствие из основного тригонометрического тождества:

$\cos2x\cdot \cos^22x=0$

$\cos^32x=0$

$\cos2x=0$

$2x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Выполним отбор корней на промежутке [0; 2π]:

$0\leqslant \dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi n}{2}\leqslant2\pi$

$0\leqslant \dfrac{1 }{4} +\dfrac{n}{2}\leqslant2$

$4\cdot 0\leqslant 4\cdot\left( \dfrac{1 }{4} +\dfrac{n}{2}\right)\leqslant4\cdot2$

$0\leqslant 1+2n\leqslant8$

$0-1\leqslant 2n\leqslant8-1$

$-1\leqslant 2n\leqslant7$

$-\dfrac{1}{2} \leqslant n\leqslant\dfrac{7}{2}$

Целые числа, принадлежащие полученному отрезку: 0; 1; 2; 3. Поскольку этих чисел 4, то и корней, принадлежащих заданному промежутку, 4.

Элементы теории:

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Формулы синуса и косинуса суммы и разности:

$\sin(\alpha \pm\beta )=\sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha \pm\beta )=\cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$

jasurbegimkulov: спасибо вам огромное

Похожие вопросы

Химия

1 год назад

Напишіть схему будови атома, електронну формулу і схему розподілу електронів по квантових комірках: а) для атома Натрію; б) для іона Магнію Mg2+

Литература

1 год назад

СРОЧНО! ДОПОМОЖІТЬ! Горацій стверджував ніколи ......, оскільки......

Математика

1 год назад

300. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а) 5/7 и 1/2 в) 3/26 и 5/39 д) 7/13 и 2/11 ж) 7/60, 13/140 и 9/20 пж 20 балл

Русский язык

1 год назад

погите пожалуйста вопросы 1)тип 2)стиль пожалуйста

История

2 года назад

Хронологічні межі «Смутних часів» у Московській державі охоплюють… Выберите один ответ: 1600–1614 рр. 1598–1613 рр. 1589–1601 рр. 1589–1614 рр.

Информатика

2 года назад

Напишите функцию, которая определяет есть ли в переданной ей строке один из этих символов №, #, %, !, $, @, &, * Функция должна вернуть значение типа Bool МОЖЕТЕ ПИСАТ ОТВЕТ С ПРИМЕРОМ И

Алгебра

8 лет назад

корень из 3х-2 плюс корень6-х найти одз

Математика

8 лет назад

С планеты ВЕНЕРА прилетело 10 космитечиских кораблей а с планеты марс на 4 кораблей меньше сколько всего кораблей прилетело с этих плонет?